Quais séries convergem? E quais divergem?
Calcule a convergência ou divergência das séries a seguir:
\sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{1}{n(\ln n)^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^{2}}.
Este é um exercício sobre séries numéricas que podem ser tratadas pelo Teste da Integral. Para aplicá-lo, consideramos a função
f(x)=\frac{1}{x(\ln x)^{2}},
que é positiva, contínua e decrescente em [2,\infty).

Passo 2

Pelo Teste da Integral, comparamos a série com a integral imprópria
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{2}}.
Fazendo a substituição u=\ln x, vem du=\frac{dx}{x} e os limites vão de u=\ln2 até u\to\infty. A integral torna-se
\int_{\ln2}^{\infty}\frac{du}{u^{2}}.

Passo 3

Calculemos
\int_{\ln2}^{\infty}\frac{du}{u^{2}} =\left[-\frac{1}{u}\right]_{\ln2}^{\infty} =\bigl(0 -\bigl(-\tfrac{1}{\ln2}\bigr)\bigr) =\frac{1}{\ln2},
que é finito. Logo a integral converge, e pelo Teste da Integral a série também converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^{2}} converge.

Exercícios relacionados