Quais séries convergem? E quais divergem?
Calcule a convergência ou divergência das séries a seguir:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(\ln n)^{3}}{n^{4}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(\ln n)^{3}}{n^{4}}.
O conteúdo é teste de convergência de séries numéricas, e vamos usar o teste de comparação (ou limite de comparação) com séries-p, sabendo que \sum 1/n^{p} converge se, e só se, p>1.

Passo 2

Lembremos do teste de comparação via série-p: como \sum_{n=1}^{\infty}1/n^{3} converge (pois 3>1), basta mostrar que, a partir de algum N,
\frac{(\ln n)^{3}}{n^{4}}
é menor (ou no mesmo limite que) 1/n^{3}.

Passo 3

Aplicamos o teste de limite de comparação: calculamos
L = \lim_{n\to\infty} \frac{\tfrac{(\ln n)^{3}}{n^{4}}}{\tfrac{1}{n^{3}}} = \lim_{n\to\infty}\frac{(\ln n)^{3}}{n}
e sabemos que \ln n cresce mais devagar que qualquer potência de n, logo
\lim_{n\to\infty}\frac{(\ln n)^{3}}{n} = 0.

Passo 4

Como L=0 e \sum 1/n^{3} converge, o teste de limite de comparação garante que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(\ln n)^{3}}{n^{4}}
também converge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(\ln n)^{3}}{n^{4}} converge.

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