Quais séries convergem? E quais divergem?
Calcule a convergência ou divergência das séries a seguir:
Calcule a convergência ou divergência das séries a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para analisar a série
e decidir se ela converge ou diverge. Aqui o conteúdo principal é teste de convergência de séries de termos positivos, em particular comparação com séries
e telescopia após decomposição em frações parciais.
Passo 2
Note que o termo para
é
, que não faz sentido. Então, na prática, consideramos a série começando em
:
Passo 3
Para testar a convergência, usamos o teste da comparação ou o teste da comparação limite com a série
de parâmetro
:
Como
converge (é uma série
com
), pela comparação limite nossa série também converge absolutamente.
Passo 4
Podemos até calcular a soma exata usando frações parciais. Para
,
Isso gera cancelamento em bloco (telescopia) em
Passo 5
Escrevendo os primeiros termos e os últimos vemos que
Quase tudo cancela, sobrando
Fazendo
, os termos
e
vão a zero, dando
Resposta
A série é convergente e, de fato,