Quais séries convergem? E quais divergem?
Calcule a convergência ou divergência das séries a seguir:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n^{2}-1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}-1}
e decidir se ela converge ou diverge. Aqui o conteúdo principal é teste de convergência de séries de termos positivos, em particular comparação com séries p e telescopia após decomposição em frações parciais.

Passo 2

Note que o termo para n=1 é \tfrac{1}{1^2-1}=\tfrac{1}{0}, que não faz sentido. Então, na prática, consideramos a série começando em n=2:
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}-1}.

Passo 3

Para testar a convergência, usamos o teste da comparação ou o teste da comparação limite com a série p de parâmetro p=2:
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n^{2}-1}}{\frac{1}{n^{2}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}-1}=1.
Como \sum 1/n^{2} converge (é uma série p com p=2>1), pela comparação limite nossa série também converge absolutamente.

Passo 4

Podemos até calcular a soma exata usando frações parciais. Para n\ge2,
\frac{1}{n^{2}-1} =\frac{1}{(n-1)(n+1)} =\frac12\Bigl(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\Bigr).
Isso gera cancelamento em bloco (telescopia) em
S_{N}=\sum_{n=2}^{N}\frac{1}{n^{2}-1} =\frac12\sum_{n=2}^{N}\Bigl(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\Bigr).

Passo 5

Escrevendo os primeiros termos e os últimos vemos que
S_{N} =\frac12\bigl((1-\tfrac{1}{3})+(\tfrac12-\tfrac{1}{4})+(\tfrac13-\tfrac{1}{5})+\cdots+(\tfrac{1}{N-1}-\tfrac{1}{N+1})\bigr).
Quase tudo cancela, sobrando
S_{N} =\frac12\Bigl(1+\tfrac12-\frac{1}{N}-\frac{1}{N+1}\Bigr).
Fazendo N\to\infty, os termos \tfrac{1}{N} e \tfrac{1}{N+1} vão a zero, dando
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}-1} =\frac12\Bigl(1+\tfrac12\Bigr) =\frac34.

Resposta

A série é convergente e, de fato,
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}-1}=\frac{3}{4}.

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