Quais séries convergem? E quais divergem?
Calcule a convergência ou divergência das séries a seguir:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2^{n}}{n!}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!}
converge ou diverge.
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries de termos positivos, e vamos usar o crité­rio da razão (também chamado de teste de d’Alembert).

Passo 2

Recordando o critério da razão: dada uma série \sum a_n com a_n>0, definimos
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}.
Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Aqui temos a_n = 2^n / n!. Vamos calcular
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{\displaystyle \frac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\displaystyle \frac{2^n}{n!}} =\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{2^n} =\frac{2}{n+1}.
Então
L = \lim_{n\to\infty}\frac{2}{n+1} = 0.

Passo 4

Como L=0<1, o critério da razão garante que a série converge absolutamente (logo converge).

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!} converge (na verdade converge absolutamente). Pode-se ainda notar que
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!}=e^2,
logo
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!}=e^2-1.

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