Quais séries convergem? E quais divergem?
Calcule a convergência ou divergência das séries a seguir:
\sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{3^{n+2}}{\ln n}\right)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série numérica
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{3^{n+2}}{\ln n},
ou seja, verificar se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é séries de termos positivos, e vamos usar o teste da razão para concluir.

Passo 2

Definimos o termo geral da série como
a_{n} = \frac{3^{n+2}}{\ln n}.
Para aplicar o teste da razão, calculamos a razão
\frac{a_{n+1}}{a_{n}}
e depois tomamos o limite quando n \to \infty.

Passo 3

Calculando explicitamente:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\displaystyle\frac{3^{(n+1)+2}}{\ln(n+1)}}{\displaystyle\frac{3^{n+2}}{\ln n}} = 3 \,\frac{\ln n}{\ln(n+1)}.
Agora, como \ln(n+1)\sim\ln n quando n\to\infty, temos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = 3\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{\ln(n+1)} = 3\cdot 1 = 3.

Passo 4

O limite da razão é 3, que é maior do que 1. Pelo teste da razão, quando
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}>1,
a série diverge.

Resposta

A série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{3^{n+2}}{\ln n}
diverge pelo teste da razão.

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