Quais séries convergem? E quais divergem?
Calcule a convergência ou divergência das séries a seguir:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2^{n}}{n 3^{n-1}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n\,3^{n-1}}.
O conteúdo é séries de termos positivos e vamos usar o teste da razão (d’Alembert).

Passo 2

Simplificamos o termo geral. Chamando
a_n = \frac{2^{n}}{n\,3^{n-1}},
temos
a_n = \frac{2^n\cdot3}{n\,3^n} =3\;\frac{\bigl(\frac{2}{3}\bigr)^n}{n}.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3\;\frac{(2/3)^{\,n+1}}{n+1}}{3\;\frac{(2/3)^n}{n}} = \frac{2/3\;\cdot n}{n+1}.
Como
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{2}{3}<1,
a série converge absolutamente.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n\,3^{n-1}} converge.

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