Quais séries convergem? E quais divergem?
Calcule a convergência ou divergência das séries a seguir:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(1-\tfrac{1}{n}\bigr)^{n^{2}}
converge ou diverge. O conteúdo envolvido é análise de séries numéricas e, em particular, os testes da raiz ou da comparação com uma série geométrica. Vamos ver o comportamento assintótico do termo geral e aplicar um teste de convergência.

Passo 2

Vamos usar o teste da raiz n-ésima, que diz: se
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\bigl(a_{n}\bigr)^{1/n}
existe e L<1, então a série \sum a_{n} converge. Aqui a_{n}=(1-\tfrac1n)^{n^{2}}, então precisamos de
\lim_{n\to\infty}\bigl((1-\tfrac1n)^{n^{2}}\bigr)^{1/n} \;=\;\lim_{n\to\infty}(1-\tfrac1n)^{n}.

Passo 3

Para calcular \lim_{n\to\infty}(1-\tfrac1n)^{n} usamos o fato clássico
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1-\tfrac1n\Bigr)^{n} =e^{-1}.
Portanto o limite do teste da raiz é
L = e^{-1}\;<\;1.

Passo 4

Como L=e^{-1}<1, o teste da raiz garante que a série
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(1-\tfrac{1}{n}\bigr)^{n^{2}}
converge.

Resposta

A série converge.

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