As séries convergem ou divergem? Justifique.
sumn=1^infty (-4)^n+15^n

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty (-4)^n+15^n
é convergente ou divergente. Para isso vamos usar o fato de que séries geométricas convergem se o módulo da razão for menor que 1.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral no formato padrão de série geométrica:
(-4)^n+15^n = (-4)^25,l(!-tfrac45r)^,n-1 = 165l(-tfrac45r)^,n-1
Dessa forma, o primeiro termo é a = tfrac165 e a razão é r = -tfrac45.

Passo 3

Verificamos a condição de convergência da série geométrica:
|r| = l|-tfrac45r| = tfrac45 < 1
Como |r|<1, a série converge.

Passo 4

Para calcular a soma, usamos a fórmula da soma de série geométrica convergente:
S = a1 - r
Substituindo a = tfrac165 e r = -tfrac45, temos
S = tfrac1651 - l(-tfrac45r) = tfrac165tfrac95 = 169

Resposta

A série converge e seu valor é tfrac169.

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