(VALOR 0,7) Determine o ângulo formado entre a reta r:cx=t-12 y=-t+2 z=3 t+2
e a reta s: 2-2 x4=-y=z+34.

Passo 1

O enunciado pede o ângulo formado entre duas retas no espaço. O conteúdo é o cálculo do ângulo entre vetores diretores usando a fórmula
costheta = lvert v1cdotv2rvert|v1|;|v2|

Passo 2

Para a reta r temos a parametrização
x=t-12, y=-t+2, z=3t+2,
logo o vetor diretor é
vr=l(d xd t,d yd t,d zd tr)=l(tfrac12,,-1,,3r)

Passo 3

A reta s é dada por
2-2x4=-y=z+34
Chamando esse valor comum de u, obtemos
y=-u, 2-2x=4uimplies x=1-2u, z+3=4uimplies z=4u-3,
portanto
vs=l(tfracd xd u,tfracd yd u,tfracd zd ur)=(-2,,-1,,4)

Passo 4

Calculamos o produto escalar e as normas:
vrcdotvs =tfrac12cdot(-2)+(-1)cdot(-1)+3cdot4 =-1+1+12=12,
|vr| =raizl(tfrac12r)^2+(-1)^2+3^2 =raiztfrac14+1+9 =raiz412,
|vs| =raiz(-2)^2+(-1)^2+4^2 =raiz4+1+16 =raiz21

Passo 5

Aplicando a fórmula do cosseno:
costheta =lvert12rvertraiz412,raiz21 =24raiz861
Logo
theta =arccos!l(tfrac24raiz861r) approx35^circ

Resposta

theta=arccos!l(tfrac24raiz861r)approx35^circ

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