Para as séries dadas, diga se há convergência ou divergência em cada caso, justificando a resposta.
sumn=1^infty n^2+n1+n^4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita do tipo:
sumn=1^infty n^2+n1+n^4
Nosso objetivo é descobrir se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas, especificamente o Teste do Termo Geral e o Teste da Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
an = n^2+n1+n^4
Vamos dividir o numerador e o denominador por an = n^2n^4 + nn^41n^4 + 1 = 1n^2 + 1n^31n^4 + 1 para analisar o comportamento quando an approx 0 + 00 + 1 = 0 vai para o infinito:
Quando tende ao infinito, os termos com no denominador vão para zero. Então, simplificamos:
Isso sugere que o termo geral tende a zero, mas isso por si só não garante a convergência da série.

Passo 3

Vamos então comparar essa série com uma série p, conhecida por sua convergência ou divergência. Observamos que:
an = n^2+n1+n^4 <= n^2+n^41+n^4 <= 2n^4n^4 = 2
Mas isso não nos ajuda muito. Então, vamos analisar o termo dominante no numerador e denominador:
No numerador, an approx n^4n^4 = 1 domina sumn=1^infty 1n^p e , então podemos aproximar:
A série comparativa seria então:
Para algum valor de .

Passo 4

Precisamos encontrar um p tal que:
n^2+n1+n^4 <= Cn^p
Para algum constante n^2+n1+n^4 <= n^2+nn^4 = 1n^2 + 1n^3 <= 2n^2 . Observando que domina, podemos dizer que:
Então, nossa série é menor que uma constante vezes .

Passo 5

Sabemos que a série é uma série p com , que é maior que 1. E séries p com convergem.
Como nossa série original é menor que uma série que converge, pelo Teste da Comparação, nossa série também converge.

Resposta

A série converge.

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