Para as séries dadas, diga se há convergência ou divergência em cada caso, justificando a resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita do tipo:
Nosso objetivo é descobrir se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas, especificamente o Teste do Termo Geral e o Teste da Comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
Vamos dividir o numerador e o denominador por
para analisar o comportamento quando
vai para o infinito:
Quando
tende ao infinito, os termos com
no denominador vão para zero. Então, simplificamos:
Isso sugere que o termo geral tende a zero, mas isso por si só não garante a convergência da série.
Passo 3
Vamos então comparar essa série com uma série p, conhecida por sua convergência ou divergência. Observamos que:
Mas isso não nos ajuda muito. Então, vamos analisar o termo dominante no numerador e denominador:
No numerador,
domina
e
, então podemos aproximar:
A série comparativa seria então:
Para algum valor de
.
Passo 4
Precisamos encontrar um p tal que:
Para algum constante
. Observando que
domina, podemos dizer que:
Então, nossa série é menor que uma constante vezes
.
Passo 5
Sabemos que a série
é uma série p com
, que é maior que 1. E séries p com
convergem.
Como nossa série original é menor que uma série que converge, pelo Teste da Comparação, nossa série também converge.
Resposta
A série
converge.