Para as séries dadas, diga se há convergência ou divergência em cada caso, justificando a resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma série infinita:
O que precisamos descobrir é se essa série converge (ou seja, soma chega a um número finito) ou diverge (a soma fica infinita). Para isso, vamos usar alguns conceitos de teoria das séries, especialmente o Teste da raiz que nos ajuda a verificar a convergência de séries que têm termos com potências envolvendo
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Raiz. Ele diz que, para uma série da forma
, calculamos:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste não dá resposta e precisamos tentar outro método.
Passo 3
Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série:
Vamos aplicar o Teste da Raiz nesse termo.
Passo 4
Aplicando o teste:
Simplificando, dividimos numerador e denominador por
:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite:
Então,
.
Passo 6
Segundo o Teste da Raiz, se
, o teste não nos dá uma resposta definitiva sobre a convergência da série. Então, precisamos usar outro método para concluir.
Passo 7
Vamos tentar reescrever o termo
para entender melhor o comportamento da série:
Para grandes valores de
, isso se assemelha a uma expressão do tipo
, que sabemos que tende a
. Então, podemos prever que
tende a
.
Passo 8
Vamos calcular o limite de
:
Então, os termos da série tendem a um número positivo (
) diferente de zero.
Passo 9
Agora, lembrando que para uma série
convergir, é necessário que
. Se esse limite for diferente de zero, a série diverge.
Resposta
A série diverge porque os termos não tendem a zero quando
cresce.