Para as séries dadas, diga se há convergência ou divergência em cada caso, justificando a resposta.
sumn=1^infty(nn+2)^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma série infinita:
sumn=1^infty(nn+2)^n
O que precisamos descobrir é se essa série converge (ou seja, soma chega a um número finito) ou diverge (a soma fica infinita). Para isso, vamos usar alguns conceitos de teoria das séries, especialmente o Teste da raiz que nos ajuda a verificar a convergência de séries que têm termos com potências envolvendo n.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Raiz. Ele diz que, para uma série da forma sum an, calculamos:
L = limn to infty raiz[n]|an|
  • Se L < 1, a série converge.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste não dá resposta e precisamos tentar outro método.

Passo 3

Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série:
an = (nn+2)^n
Vamos aplicar o Teste da Raiz nesse termo.

Passo 4

Aplicando o teste:
L = limn to infty raiz[n](nn+2)^n = limn to infty nn+2
Simplificando, dividimos numerador e denominador por n:
nn+2 = 11 + 2n

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite:
limn to infty 11 + 2n = 11 + 0 = 1
Então, L = 1.

Passo 6

Segundo o Teste da Raiz, se L = 1, o teste não nos dá uma resposta definitiva sobre a convergência da série. Então, precisamos usar outro método para concluir.

Passo 7

Vamos tentar reescrever o termo an para entender melhor o comportamento da série:
an = (nn+2)^n = (1 - 2n+2)^n
Para grandes valores de n, isso se assemelha a uma expressão do tipo (1 - cn)^n, que sabemos que tende a e^-c. Então, podemos prever que an tende a e^-2.

Passo 8

Vamos calcular o limite de an:
limn to infty (nn+2)^n = e^-2 approx 0,135
Então, os termos da série tendem a um número positivo ( e^-2) diferente de zero.

Passo 9

Agora, lembrando que para uma série sum an convergir, é necessário que limn to infty an = 0. Se esse limite for diferente de zero, a série diverge.

Resposta

A série diverge porque os termos não tendem a zero quando n cresce.

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