Para as séries dadas, diga se há convergência ou divergência em cada caso, justificando a resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita:
O objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, tem um valor total finito) ou diverge (não tem um valor finito). Para resolver isso, vamos usar o Teste da Comparação, que é uma ferramenta matemática bem útil para séries. Vamos precisar comparar nossa série com outra que a gente já sabe se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão dentro da soma:
Aqui, a gente dividiu o numerador e o denominador por $ n^2 $, simplificando a fração.
Passo 3
Agora, observamos que para grandes valores de $ n $, o termo $ -\frac{1}{n^4} $ é muito menor que $ \frac{1}{n^3} $, então a nossa série se comporta de forma semelhante à série:
Essa série é conhecida como uma série p, onde $ p = 3 $.
Passo 4
Sabemos que uma série p converge se $ p > 1 $. No nosso caso, $ p = 3 $, que é maior que 1. Então, a série:
converge.
Passo 5
Como a nossa série original é similar a uma série que converge, e os termos dela são menores (ou iguais) aos termos da série convergente, podemos concluir pelo Teste da Comparação que a série original também converge.
Resposta
A série
converge.