Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente, condicionalmente ou divergem, justificando a resposta.
sumn=2^infty 1(ln n)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar se ela converge (ou seja, tem uma soma finita) de forma absoluta, condicional ou se diverge (não tem uma soma finita). A série é:
sumn=2^infty 1(ln n)^n
Para resolver isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries, que são ferramentas matemáticas que ajudam a determinar o comportamento dessas somas infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série converge absolutamente se a soma dos valores absolutos dos termos converge. No nosso caso, todos os termos já são positivos, então só precisamos verificar a convergência da própria série.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Raiz, que é muito útil quando temos potências envolvendo n. Esse teste diz que, se:
limn to infty raiz[n]an = L
Então:
  • Se L < 1, a série converge absolutamente.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste não é conclusivo.
No nosso caso, an = 1(ln n)^n, então vamos calcular:
raiz[n]an = raiz[n]1(ln n)^n = 1ln n

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty 1ln n = 0
Porque o logaritmo natural ln n cresce sem limite conforme n aumenta, então seu inverso tende a zero.
Como 0 < 1, de acordo com o Teste da Raiz, a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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