Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente, condicionalmente ou divergem, justificando a resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar se ela converge (ou seja, tem uma soma finita) de forma absoluta, condicional ou se diverge (não tem uma soma finita). A série é:
Para resolver isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries, que são ferramentas matemáticas que ajudam a determinar o comportamento dessas somas infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série converge absolutamente se a soma dos valores absolutos dos termos converge. No nosso caso, todos os termos já são positivos, então só precisamos verificar a convergência da própria série.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Raiz, que é muito útil quando temos potências envolvendo
. Esse teste diz que, se:
Então:
- Se
, a série converge absolutamente. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste não é conclusivo.
No nosso caso,
, então vamos calcular:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
Porque o logaritmo natural
cresce sem limite conforme
aumenta, então seu inverso tende a zero.
Como
, de acordo com o Teste da Raiz, a série converge absolutamente.
Resposta
A série converge absolutamente.