Para as séries dadas, diga se há convergência ou divergência em cada caso, justificando a resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para analisar se a série
converge ou diverge. Isso cai dentro do conteúdo de Séries Numéricas da matemática, onde estudamos se a soma de infinitos termos chega a um valor finito ou não. Para resolver isso, vamos precisar entender o comportamento dos termos gerais da série e aplicar alguns testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Sabemos que o cosseno de
alterna entre 1 e -1 dependendo do valor de
. Por exemplo:
- Quando
: - Quando
: - Quando
:
E assim por diante. Então, os termos da série são:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Divergência, que é um método simples para verificar se uma série não converge. Esse teste diz que se o limite do termo geral
quando
tende ao infinito não for zero, a série diverge.
Vamos calcular:
Como vimos,
alterna entre -1 e 1 para todo
, então não há um limite que se aproxime de um único valor. Na verdade, o limite não existe porque a sequência não se estabiliza em nenhum número específico.
Passo 4
Como o limite do termo geral não existe (ou não é zero), pelo Teste da Divergência, a série
não converge. Ou seja, ela diverge.
Resposta
A série
diverge.