Para as séries dadas, diga se há convergência ou divergência em cada caso, justificando a resposta.
sumn=1^infty cos (n pi)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para analisar se a série sumn=1^infty cos(n pi) converge ou diverge. Isso cai dentro do conteúdo de Séries Numéricas da matemática, onde estudamos se a soma de infinitos termos chega a um valor finito ou não. Para resolver isso, vamos precisar entender o comportamento dos termos gerais da série e aplicar alguns testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é cos(n pi). Sabemos que o cosseno de npi alterna entre 1 e -1 dependendo do valor de n. Por exemplo:
  • Quando n = 1: cos(pi) = -1
  • Quando n = 2: cos(2pi) = 1
  • Quando n = 3: cos(3pi) = -1
E assim por diante. Então, os termos da série são: -1, 1, -1, 1, -1, 1, dots

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Divergência, que é um método simples para verificar se uma série não converge. Esse teste diz que se o limite do termo geral an quando n tende ao infinito não for zero, a série diverge.
Vamos calcular:
limn to infty cos(n pi)
Como vimos, cos(n pi) alterna entre -1 e 1 para todo n, então não há um limite que se aproxime de um único valor. Na verdade, o limite não existe porque a sequência não se estabiliza em nenhum número específico.

Passo 4

Como o limite do termo geral não existe (ou não é zero), pelo Teste da Divergência, a série sumn=1^infty cos(n pi) não converge. Ou seja, ela diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty cos(n pi) diverge.

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