Verifique se a equação diferencial a seguir é ordinária ou parcial e se a função dada é uma solução da equação:
ux x+uy y=0 ; u(x, y)=cos (x) cosh (y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial e uma função e precisamos descobrir duas coisas: se a equação é ordinária ou parcial, e se essa função é uma solução dessa equação. A matéria envolve equações diferenciais parciais, que lidam com funções de várias variáveis e suas derivadas. Para resolver isso, vamos analisar a equação e calcular as derivadas da função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a equação é diferencial ordinária (EDO) ou diferencial parcial (EDP). Uma EDO envolve derivadas em relação a uma única variável, enquanto uma EDP envolve derivadas em relação a várias variáveis.

Passo 3

Nossa equação é $ u_{xx} + u_{yy} = 0 $. Aqui, $ u $ é função de $ x $ e $ y $, e temos derivadas de segunda ordem em relação a $ x $ e $ y $. Como envolve derivadas parciais em duas variáveis, é uma equação diferencial parcial.

Passo 4

Agora, vamos verificar se a função $ u(x, y) = \cos(x) \cosh(y) $ é uma solução da equação.
Primeiro, calculamos as derivadas parciais necessárias:
u(x, y) = cos(x) cosh(y)
ux = -sin(x) cosh(y)
uxx = -cos(x) cosh(y)
uy = cos(x) sinh(y)

Passo 5

Agora, substituímos $ u_{xx} $ e $ u_{yy} $ na equação:
uxx
Como a soma das derivadas é igual a zero, a função satisfaz a equação.

Resposta

A equação diferencial é uma equação diferencial parcial e a função $ u(x, y) = \cos(x) \cosh(y) $ é uma solução dessa equação.

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