Quais séries nos exercicios 1-26 convergem e quais divergem? Justifique as suas respostas. (Quando estiver verificando as suas respostas, lembre-se de que existe mais de uma maneira de determinar a convergência ou a divergência de uma série.)
12. sumn=1^infty (ln n)^nn^n

Passo 1

A série é sumn=1^infty (ln n)^nn^n. O conteúdo é análise de convergência de séries numéricas e vamos usar o teste da raiz para determinar se ela converge.

Passo 2

O teste da raiz estabelece que, dado an, se L = limsupntoinfty raiz[n]|an|, então se L<1 a série sum an converge absolutamente; se L>1 diverge; e se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 3

Aqui an = l(tfracln nnr)^n. Calculamos a raiz enésima: raiz[n]|an| = ln nn Precisamos então do limite limntoinfty ln nn Sabemos por crescimento de funções que ln n cresce muito mais devagar que n, logo limntoinfty ln nn = 0

Passo 4

Como esse limite é 0<1, o teste da raiz garante que a série converge absolutamente, e portanto converge.

Passo 5

Como converge absolutamente, podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta pelo teste da raiz, pois limntoinftyraiz[n]an=0<1).

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