Quais séries nos exercicios 1-26 convergem e quais divergem? Justifique as suas respostas. (Quando estiver verificando as suas respostas, lembre-se de que existe mais de uma maneira de determinar a convergência ou a divergência de uma série.)
14. sumn=1^infty(1n-1n^2)^n

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a série sumn=1^inftyl(tfrac1n-tfrac1n^2r)^n. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries, em particular o teste da raiz vai ser muito eficiente.

Passo 2

O teste da raiz afirma que, para an termo geral de uma série, se L=limsupntoinftyraiz[n]|an| existir e for menor que 1, então a série converge absolutamente.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso, o termo geral é an=l(tfrac1n-tfrac1n^2r)^n. Calculamos
limntoinftyraiz[n]l|anr|=limntoinftyl(tfrac1n-tfrac1n^2r)=0

Passo 4

Como o limite é 0<1, a série converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta pelo teste da raiz).

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