Dada uma função vetorial
, tal que
, para todo
. É verdade que
e
são ortogonais? Em caso afirmativo mostre tal fato. Em caso negativo apresente um exemplo onde esse fato não ocorra.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma função vetorial
que tem uma norma constante, ou seja,
para todo
. A gente precisa descobrir se o vetor
e a sua derivada
são ortogonais (ou seja, formam um ângulo de 90 graus entre si). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial como norma, derivada e produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. A norma de um vetor é o seu “tamanho” ou “magnitude”. Então, essa condição quer dizer que o tamanho de
é sempre igual a uma constante
, não muda com o tempo
.
Passo 3
Vamos elevar ambos os lados da equação à segunda potência para facilitar a derivação. Assim, temos:
Isso fica:
Aqui, usamos o produto interno (ou produto escalar) do vetor consigo mesmo para calcular a norma ao quadrado.
Passo 4
Agora, vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação a
. A derivada de uma constante, como
, é zero. Então:
Isso resulta em:
Passo 5
Para derivar o lado esquerdo, usamos a regra do produto para derivadas de vetores. A derivada do produto interno
fica:
Note que a ordem dos vetores no produto interno não altera o resultado.
Passo 6
Como os dois termos são iguais, podemos simplificar:
Dividindo ambos os lados por 2:
Passo 7
Um produto interno igual a zero significa que os vetores são ortogonais. Então,
e
formam um ângulo de 90 graus entre si.
Resposta
Sim,
e
são ortogonais.