Dada uma função vetorial r(t)=(f(t), g(t), h(t)), tal que |r(t)|=C, para todo t. É verdade que r(t) e r^prime(t) são ortogonais? Em caso afirmativo mostre tal fato. Em caso negativo apresente um exemplo onde esse fato não ocorra.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma função vetorial r(t) = (f(t), g(t), h(t)) que tem uma norma constante, ou seja, |r(t)| = C para todo t. A gente precisa descobrir se o vetor r(t) e a sua derivada r^prime(t) são ortogonais (ou seja, formam um ângulo de 90 graus entre si). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial como norma, derivada e produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa |r(t)| = C. A norma de um vetor é o seu “tamanho” ou “magnitude”. Então, essa condição quer dizer que o tamanho de r(t) é sempre igual a uma constante C, não muda com o tempo t.

Passo 3

Vamos elevar ambos os lados da equação à segunda potência para facilitar a derivação. Assim, temos:
|r(t)|^2 = C^2
Isso fica:
r(t) cdot r(t) = C^2
Aqui, usamos o produto interno (ou produto escalar) do vetor consigo mesmo para calcular a norma ao quadrado.

Passo 4

Agora, vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação a t. A derivada de uma constante, como C^2, é zero. Então:
ddt [r(t) cdot r(t)] = ddt [C^2]
Isso resulta em:
ddt [r(t) cdot r(t)] = 0

Passo 5

Para derivar o lado esquerdo, usamos a regra do produto para derivadas de vetores. A derivada do produto interno r(t) cdot r(t) fica:
r^prime(t) cdot r(t) + r(t) cdot r^prime(t) = 0
Note que a ordem dos vetores no produto interno não altera o resultado.

Passo 6

Como os dois termos são iguais, podemos simplificar:
2 , r(t) cdot r^prime(t) = 0
Dividindo ambos os lados por 2:
r(t) cdot r^prime(t) = 0

Passo 7

Um produto interno igual a zero significa que os vetores são ortogonais. Então, r(t) e r^prime(t) formam um ângulo de 90 graus entre si.

Resposta

Sim, r(t) e r^prime(t) são ortogonais.

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