Quais séries nos exercicios 1-26 convergem e quais divergem? Justifique as suas respostas. (Quando estiver verificando as suas respostas, lembre-se de que existe mais de uma maneira de determinar a convergência ou a divergência de uma série.)
20. sumn=1^infty n 2^n(n+1)!3^n n!

Passo 1

O enunciado apresenta a série
sumn=1^infty n,2^n(n+1)!3^nn!
O conteúdo é teste de convergência de séries numéricas e vamos usar o teste da razão.

Passo 2

Observe que
(n+1)!n!=n+1
logo o termo geral fica
an = ncdot2^n(n+1)!3^n n! = n(n+1)l(23r)^n

Passo 3

O teste da razão diz que para a série sum an calculamos
L = limntoinftyl|an+1anr|
Se L<1 a série converge absolutamente. Aqui,
an+1an = (n+1)(n+2)l(tfrac23r)^n+1n(n+1)l(tfrac23r)^n = n+2ncdot23
e
L = limntoinftyn+2ncdot23 = 23

Passo 4

Como L=2/3<1, a série converge absolutamente pelo teste da razão.

Resposta

A série converge absolutamente.

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