Quais séries nos exercicios 1-26 convergem e quais divergem? Justifique as suas respostas. (Quando estiver verificando as suas respostas, lembre-se de que existe mais de uma maneira de determinar a convergência ou a divergência de uma série.)
24. sumn=2^infty n(ln n)^(n / 2)

Passo 1

A questão pede para estudar a série sumn=2^infty n(ln n)^n/2, que é um problema de convergência de séries infinitas. Vamos precisar usar um teste de convergência (por exemplo, o teste da raiz) para determinar se ela converge ou diverge.

Passo 2

O teste da raiz diz que, para an>0, se definirmos L=limntoinftyraiz[n]an, então a série sum an converge se L<1 e diverge se L>1. Aqui temos an=n(ln n)^n/2. Vamos calcular a raiz n-ésima de an:
raiz[n]an=raiz[n]n,/,(ln n)^1/2
Sabemos que limntoinftyraiz[n]n=1 e que (ln n)^1/2toinfty. Logo
limntoinftyraiz[n]an=1infty=0
Como 0<1, pelo teste da raiz a série converge absolutamente, e portanto converge. Não é necessário recorrer a outros testes, mas poderíamos também observar que o denominador cresce superexponencialmente em relação ao numerador.

Resposta

A série sumn=2^infty n(ln n)^n/2 converge.

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