Quais séries nos exercicios 1-26 convergem e quais divergem? Justifique as suas respostas. (Quando estiver verificando as suas respostas, lembre-se de que existe mais de uma maneira de determinar a convergência ou a divergência de uma série.)
15. sumn=1^infty ln nn

Passo 1

Beleza, então a gente tem o exercício 15 que pergunta se a série sumn=1^infty ln nn converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries infinitas e alguns testes de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é essa série. Ela soma, para cada número natural n, o termo ln nn, onde ln n é o logaritmo natural de n. Precisamos descobrir se essa soma chega a um número finito (converge) ou se ela cresce sem limites (diverge).

Passo 3

Uma boa maneira de analisar séries como essa é compará-la com uma série que já sabemos se converge ou diverge. Vamos lembrar da série harmônica sumn=1^infty 1n, que sabemos que diverge.

Passo 4

Agora, vamos comparar os termos das duas séries. Note que para n >= 2, temos ln n > 0, então ln nn > 1n. Isso significa que cada termo da nossa série é maior que o termo correspondente da série harmônica.

Passo 5

Segundo o Teste da Comparação: se sum bn diverge e an >= bn para todo n a partir de certo ponto, então sum an também diverge. No nosso caso, sum 1n diverge e ln nn >= 1n para n >= 2.

Passo 6

Portanto, aplicando o teste, concluímos que a série sumn=1^infty ln nn diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty ln nn diverge.

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