Quais séries nos exercicios 1-26 convergem e quais divergem? Justifique as suas respostas. (Quando estiver verificando as suas respostas, lembre-se de que existe mais de uma maneira de determinar a convergência ou a divergência de uma série.)
15.
15.
Passo 1
Beleza, então a gente tem o exercício 15 que pergunta se a série
converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries infinitas e alguns testes de convergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é essa série. Ela soma, para cada número natural
, o termo
, onde
é o logaritmo natural de
. Precisamos descobrir se essa soma chega a um número finito (converge) ou se ela cresce sem limites (diverge).
Passo 3
Uma boa maneira de analisar séries como essa é compará-la com uma série que já sabemos se converge ou diverge. Vamos lembrar da série harmônica
, que sabemos que diverge.
Passo 4
Agora, vamos comparar os termos das duas séries. Note que para
, temos
, então
. Isso significa que cada termo da nossa série é maior que o termo correspondente da série harmônica.
Passo 5
Segundo o Teste da Comparação: se
diverge e
para todo
a partir de certo ponto, então
também diverge. No nosso caso,
diverge e
para
.
Passo 6
Portanto, aplicando o teste, concluímos que a série
diverge.
Resposta
A série
diverge.