Quais séries nos exercicios 1-26 convergem e quais divergem? Justifique as suas respostas. (Quando estiver verificando as suas respostas, lembre-se de que existe mais de uma maneira de determinar a convergência ou a divergência de uma série.)
3. sumn=1^infty n!e^-n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta é sobre saber se a série sumn=1^infty n!e^-n converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries infinitas e técnicas como o Teste da Razão para descobrir isso. Basicamente, precisamos analisar o comportamento dos termos da série conforme n cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o Teste da Razão. Esse teste ajuda a determinar a convergência de uma série observando o limite do quociente entre termos consecutivos da série. A regra é a seguinte:
limn to infty | an+1an |
  • Se o limite for menor que 1, a série converge.
  • Se for maior que 1, a série diverge.
  • Se for igual a 1, o teste não dá resposta e precisamos usar outro método.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Primeiro, identificamos an:
an = n! e^-n
Agora, calculamos an+1:
an+1 = (n+1)! e^-(n+1)

Passo 4

Agora, vamos encontrar o quociente an+1an:
an+1an = (n+1)! e^-(n+1)n! e^-n = (n+1) e^-1 = n+1e

Passo 5

Em seguida, calculamos o limite desse quociente quando n tende ao infinito:
limn to infty n+1e = infty
Como infty é maior que 1, de acordo com o Teste da Razão, isso significa que a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty n!e^-n diverge.

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