Quais das séries nos exercícios 1-30 convergem equais divergem? Justifique suas respostas. (Quando estiver checando suas respostas, lembre-se de que pode existir mais de uma maneira de determinar a convergência ou a divergência de uma série.)
sumn=1^infty 5n+1

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série sumn=1^infty 5n+1. O conteúdo aqui é séries numéricas e vamos usar o teste de comparação (ou teste da razão-limite) junto com o fato de que a série harmônica diverge.

Passo 2

Vamos aplicar o teste de comparação simples observando que, para todo n>=1, temos n+1 <= 2n. Portanto,
5n+1 >= 52n = 52cdot1n

Passo 3

Sabemos que a série harmônica sumn=1^infty 1n diverge. Como 5n+1 é maior ou igual a tfrac52,1n, a comparação nos diz que
sumn=1^infty 5n+1 diver>= por comparação com sumn=1^infty 52cdot1nçã

Passo 4

Alternativamente, usando o teste da razão-limite (limite de comparação):
limntoinfty 5n+11n = limntoinfty 5nn+1 =5
como esse limite é finito e não nulo e a série sum 1/n diverge, a série dada também diverge.

Resposta

A série diverge.

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