Quais das séries nos exercícios 1-30 convergem equais divergem? Justifique suas respostas. (Quando estiver checando suas respostas, lembre-se de que pode existir mais de uma maneira de determinar a convergência ou a divergência de uma série.)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma série infinita dada por:
O objetivo aqui é descobrir se essa série converge (ou seja, se ela soma até um valor finito) ou diverge (não soma até um valor finito). Para isso, vamos precisar usar alguns testes de convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a série que estamos lidando. Cada termo dessa série é da forma
. Nosso trabalho é analisar o comportamento desses termos quando
tende ao infinito e ver se a soma deles vai até um número finito ou não.
Passo 3
Um dos testes mais básicos para verificar a convergência de uma série é o Teste do Termo Geral. Esse teste diz que, se o limite do termo geral
quando
tende ao infinito não for zero, ou seja:
então a série
diverge. Isso porque, para a série somar a um valor finito, os termos precisam ficar cada vez menores, se aproximando de zero.
Passo 4
Vamos calcular o limite do termo geral
quando
tende ao infinito. Sabemos que:
onde
é aproximadamente 2,71828. Esse é um resultado famoso na matemática.
Passo 5
Agora, aplicando o Teste do Termo Geral, já que:
Isso significa que os termos da série não estão tendendo a zero. Portanto, pela regra do teste, a série não pode convergir.
Resposta
A série
diverge, pois o limite dos termos gerais é igual a
e não zero.