Quais das séries nos exercícios 1-36 convergem e quais divergem? Justifique as suas respostas.
sumn=1^infty 11+2^2+3^2+cdots+n^2

Passo 1

O exercício pede para testar a convergência da série de termos positivos an=11+2^2+3^2+cdots+n^2 usando conteúdos de testes de convergência de séries, e vamos precisar da fórmula da soma dos quadrados.

Passo 2

Para somar os quadrados até n, lembramos que 1^2+2^2+3^2+cdots+n^2=n(n+1)(2n+1)6

Passo 3

Com isso podemos estimar o denominador: note que (n+1)(2n+1)=2n^2+3n+1>=2n^2 para todo n>=1. Logo,
1^2+2^2+cdots+n^2=n(n+1)(2n+1)6>=ncdot2n^26=n^33

Passo 4

Daí o termo geral satisfaz
an=11+2^2+cdots+n^2<=1n^33=3n^3

Passo 5

Como sumn=1^infty3n^3=3sumn=1^infty1n^3 é uma série p- com p=3>1 (logo convergente), pelo teste da comparação a nossa série original também converge.

Resposta

A série converge (por comparação com a série sum1/n^3, que é convergente).

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