Quais das séries nos exercícios 1-36 convergem e quais divergem? Justifique as suas respostas.
sumn=1^infty sec ^-1 nn^1.3

Passo 1

O enunciado pede para analisarmos a convergência da série sumn=1^infty sec^-1 nn^1.3. O conteúdo é testes de convergência de séries numéricas; vamos usar o teste de comparação e o comportamento assintótico de sec^-1n quando ntoinfty.

Passo 2

Lembrando que sec^-1 n=arccos(1/n). Como 1/nto0 quando ntoinfty, temos
arccos(1/n)toarccos(0)=tfracpi2
Portanto existe constante M=pi/2 tal que para todo n>=1
0<=sec^-1n<= M

Passo 3

Dessa forma,
sec^-1nn^1.3<= Mn^1.3=pi/2n^1.3
Como a série sum 1n^1.3 é uma p-série com p=1.3>1, ela converge. Pelo teste da comparação, a série dada também converge.

Resposta

A série converge.

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