Quais das séries nos exercícios 1-36 convergem e quais divergem? Justifique as suas respostas.
Passo 1
A série em questão é
Estamos estudando convergência de séries numéricas. Para resolver, vamos usar a fórmula da soma de uma progressão aritmética e depois um truque de decomposição em frações parciais para identificar um telescópio.
Passo 2
Primeiro, calculamos a soma dos primeiros
naturais:
Isso significa que o termo geral da nossa série é
Passo 3
Agora fazemos a decomposição em frações parciais de
. Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando por
e comparando coeficientes, obtemos
e
, ou seja:
Passo 4
Definimos a soma parcial
. Substituindo a decomposição,
Esse somatório telescopa, pois cada
no termo
cancela com o
no termo
. Assim
Passo 5
Por fim, fazemos o limite quando
:
Como o limite da soma parcial é finito, concluímos que a série converge.
Resposta
A série converge e sua soma vale 2.