Quais das séries nos exercícios 1-36 convergem e quais divergem? Justifique as suas respostas.
sumn=1^infty 11+2+3+cdots+n

Passo 1

A série em questão é
sumn=1^infty 11+2+3+cdots+n
Estamos estudando convergência de séries numéricas. Para resolver, vamos usar a fórmula da soma de uma progressão aritmética e depois um truque de decomposição em frações parciais para identificar um telescópio.

Passo 2

Primeiro, calculamos a soma dos primeiros n naturais:
1+2+3+cdots+n=n(n+1)2
Isso significa que o termo geral da nossa série é
11+2+cdots+n=1tfracn(n+1)2=2n(n+1)

Passo 3

Agora fazemos a decomposição em frações parciais de tfrac2n(n+1). Procuramos constantes A e B tais que
2n(n+1)=An+Bn+1
Multiplicando por n(n+1) e comparando coeficientes, obtemos A=2 e B=-2, ou seja:
2n(n+1)=2l(1n-1n+1r)

Passo 4

Definimos a soma parcial SN=sumn=1^N2n(n+1). Substituindo a decomposição,
SN=2sumn=1^Nl(1n-1n+1r)
Esse somatório telescopa, pois cada +tfrac1n+1 no termo n cancela com o -tfrac1n+1 no termo n+1. Assim
SN=2l(1-1N+1r)

Passo 5

Por fim, fazemos o limite quando Ntoinfty:
limNtoinftySN=limNtoinfty2l(1-1N+1r)=2
Como o limite da soma parcial é finito, concluímos que a série converge.

Resposta

A série converge e sua soma vale 2.

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