Quais das séries nos exercícios 1-36 convergem e quais divergem? Justifique as suas respostas.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série
. Isso cai no conteúdo de testes de convergência de séries numéricas, em especial o teste de comparação com a série harmônica ou p-séries. Vamos usar propriedades do logaritmo e o teste de comparação direta.
Passo 2
Primeiro, mostramos uma desigualdade útil: para todo
vale
Podemos ver isso observando a função
. Sua derivada é
para todo
, logo
é decrescente e
. Assim
o que implica
Passo 3
Agora, como sabemos que a série harmônica
diverge, a constante
não afeta a divergência:
Pela comparação direta, tendo
, concluímos que
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+\ln^2 n}$$
também diverge.
também diverge.
Resposta
A série diverge.