Quais das séries nos exercícios 1-36 convergem e quais divergem? Justifique as suas respostas.
sumn=1^infty 1(1+ln ^2 n)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série sumn=1^infty 11+ln^2 n. Isso cai no conteúdo de testes de convergência de séries numéricas, em especial o teste de comparação com a série harmônica ou p-séries. Vamos usar propriedades do logaritmo e o teste de comparação direta.

Passo 2

Primeiro, mostramos uma desigualdade útil: para todo n>=1 vale
ln^2 n <= n
Podemos ver isso observando a função g(n)=ln^2 n - n. Sua derivada é
g'(n)=2ln nn-1 <0
para todo n>0, logo g(n) é decrescente e g(n)<= g(1)=0. Assim
1+ln^2 n <= 1+n <= 2n,
o que implica
11+ln^2 n >= 12n

Passo 3

Agora, como sabemos que a série harmônica sumn=1^infty 1n diverge, a constante tfrac12 não afeta a divergência:
sumn=1^infty 12n = tfrac12 sumn=1^infty 1n = infty
Pela comparação direta, tendo 0<12n<= 11+ln^2 n, concluímos que
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+\ln^2 n}$$
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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