Quais das séries nos exercícios 1-36 convergem e quais divergem? Justifique as suas respostas.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente precisa aqui. A questão pede para verificar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas, como o teste de comparação e propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série:
. Sabemos que
oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de
. Então,
vai oscilar entre 0 e 2. Isso significa que o numerador da nossa fração está sempre entre 0 e 2.
Passo 3
Agora, vamos pensar na fração completa:
. Como o numerador está entre 0 e 2, podemos dizer que:
Isso nos dá uma ideia para usar o teste de comparação.
Passo 4
Sabemos que a série
é uma série p com
. Séries p convergem quando
. Portanto,
converge.
Passo 5
Agora, usando o teste de comparação, já que todos os termos da nossa série original são menores ou iguais aos termos da série convergente
, podemos concluir que nossa série original também converge.
Resposta
A série
converge porque seus termos são menores ou iguais a uma série p convergente com
.