Quais das séries nos exercícios 1-36 convergem e quais divergem? Justifique as suas respostas.
sumn=1^infty 1+cos nn^2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa aqui. A questão pede para verificar se a série sumn=1^infty 1+cos nn^2 converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas, como o teste de comparação e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série: 1+cos nn^2. Sabemos que cos n oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de n. Então, 1 + cos n vai oscilar entre 0 e 2. Isso significa que o numerador da nossa fração está sempre entre 0 e 2.

Passo 3

Agora, vamos pensar na fração completa: 1+cos nn^2. Como o numerador está entre 0 e 2, podemos dizer que:
0 <= 1+cos nn^2 <= 2n^2
Isso nos dá uma ideia para usar o teste de comparação.

Passo 4

Sabemos que a série sumn=1^infty 1n^2 é uma série p com p = 2. Séries p convergem quando p > 1. Portanto, sumn=1^infty 1n^2 converge.

Passo 5

Agora, usando o teste de comparação, já que todos os termos da nossa série original são menores ou iguais aos termos da série convergente sumn=1^infty 2n^2, podemos concluir que nossa série original também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 1+cos nn^2 converge porque seus termos são menores ou iguais a uma série p convergente com p = 2.

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