Quais das séries nos exercícios 1-36 convergem e quais divergem? Justifique as suas respostas.
sumn=1^infty sen 1n

Passo 1

A série dada é sumn=1^inftysintfrac1n. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries infinitas, e vamos precisar usar o teste da comparação na forma limite, junto com o fato de que para xto0 vale sin xsim x.

Passo 2

Como ntoinfty, o argumento 1/n tende a zero, então podemos usar o limite famoso
limntoinftysin(1/n)1/n=1
Isso mostra que para grandes n temos sin(1/n) comportando-se como 1/n.

Passo 3

Pela regra da comparação na forma limite, como
sumn=1^infty1n
é a série harmônica que diverge e o limite acima é um número finito e não nulo, concluímos que a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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