Se f(x)=6 x^2+5 e g(x)=x+1 então calcular, passo a passo por qualquer método, as derivadas de f0 g(x) e g0 f(x).

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas de duas composições de funções: f(x)=6x^2+5 e g(x)=x+1. O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia, que usamos quando precisamos derivar uma função composta como f(g(x)) ou g(f(x)).

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas das funções básicas. A derivada de f(x)=6x^2+5 é
f'(x)=ddx(6x^2+5)=12x,
e a derivada de g(x)=x+1 é
g'(x)=ddx(x+1)=1

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia para fcirc g. Definindo h(x)=f(g(x)), a regra da cadeia diz que
h'(x)=f'(g(x))cdot g'(x)
Como g(x)=x+1, temos
f'(g(x))=12l(g(x)r)=12(x+1)
e g'(x)=1. Logo
(fcirc g)'(x)=12(x+1)cdot1=12(x+1)

Passo 4

Para gcirc f, definindo k(x)=g(f(x)), a regra da cadeia dá
k'(x)=g'(f(x))cdot f'(x)
Como g'(u)=1 para qualquer u, então g'(f(x))=1 e já achamos f'(x)=12x. Assim
(gcirc f)'(x)=1cdot12x=12x

Resposta

(f\circ g)’(x)=12(x+1), (g\circ f)’(x)=12x

Exercícios relacionados