Quais das séries nos exercícios 1-36 convergem e quais divergem? Justifique as suas respostas.
sum4=1^infty 1(1+ln n)^2

Passo 1

A série que queremos analisar é sumn=4^infty 1(1+ln n)^2. O conteúdo principal aqui é o teste de condensação de Cauchy para séries de termos positivos e decrescentes. Vamos usá-lo porque lida bem com funções que envolvem logaritmo.

Passo 2

Primeiro, definimos an = 1(1+ln n)^2 e mostramos que an é positivo e decrescente para n>=4. Como ln n é crescente, 1+ln n também cresce, fazendo an decrescer.

Passo 3

Agora aplicamos o teste de condensação de Cauchy, que diz que sum an converge se e só se convergir a série condensada sumk=2^infty2^k a2^k. Calculamos:
2^k a2^k=2^k1l(1+ln(2^k)r)^2=2^kl(1+kln2r)^2

Passo 4

Para ver que essa série diverge, fazemos o teste da razão na série condensada. Seja bk=2^k(1+kln2)^2. Então
limktoinftybk+1bk=limktoinfty2cdot(1+kln2)^2(1+(k+1)ln2)^2=2>1

Passo 5

Como a razão é maior que 1, a série sum bk diverge. Pelo teste de condensação, a divergência de sum bk implica a divergência de sum an.

Resposta

A série diverge.

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