Quais das séries nos exercícios 1-36 convergem e quais divergem? Justifique as suas respostas.
Passo 1
A série que queremos analisar é
. O conteúdo principal aqui é o teste de condensação de Cauchy para séries de termos positivos e decrescentes. Vamos usá-lo porque lida bem com funções que envolvem logaritmo.
Passo 2
Primeiro, definimos
e mostramos que
é positivo e decrescente para
. Como
é crescente,
também cresce, fazendo
decrescer.
Passo 3
Agora aplicamos o teste de condensação de Cauchy, que diz que
converge se e só se convergir a série condensada
. Calculamos:
Passo 4
Para ver que essa série diverge, fazemos o teste da razão na série condensada. Seja
. Então
Passo 5
Como a razão é maior que 1, a série
diverge. Pelo teste de condensação, a divergência de
implica a divergência de
.
Resposta
A série diverge.