Quais séries nos Exercícios 49-68 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas. Se a série converge, calcule sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{3}{2^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{3}{2^n}
converge ou diverge, e, em caso de convergência, calcular sua soma. Aqui vamos usar o fato de que é uma série geométrica (com sinal alternado) e aplicar o critério |r|<1 e a fórmula da soma S = a_1/(1-r).

Passo 2

Identificamos o primeiro termo a_1 e a razão r. Para n=1 temos
a_1 = (-1)^{1+1}\frac{3}{2^1} = \frac{3}{2}.
O termo seguinte ( n=2) é
(-1)^{2+1}\frac{3}{2^2} = -\frac{3}{4},
logo a razão é
r = \frac{-\tfrac{3}{4}}{\tfrac{3}{2}} = -\tfrac{1}{2}.

Passo 3

Pelo critério da série geométrica, ela converge se
|r| < 1.
Aqui |r| = \tfrac12 < 1, então a série converge.

Passo 4

Como converge, sua soma é dada por
S = \frac{a_1}{1 - r} = \frac{\tfrac{3}{2}}{1 - \bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)} = \frac{\tfrac{3}{2}}{\tfrac{3}{2}} = 1.

Resposta

A série converge e sua soma é 1.

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