Expanda em série de Fourier f(x)=\cos ^{2}(x), em -\pi<x<\pi.

Passo 1

O enunciado pede para expandir em série de Fourier a função f(x)=\cos^{2}(x) no intervalo -\pi<x<\pi. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é f(x)=\cos^{2}(x) definida em -\pi<x<\pi.
  • A série de Fourier na forma padrão (intervalo -\pi,\pi) usa a representação
f(x)\sim \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\bigr),
onde
a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx,\qquad b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx,
e
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx.
  • Não há outras condições adicionais no enunciado.

Passo 2

Observação inicial e estratégia simples (sem ainda calcular): f(x)=\cos^{2}(x) é uma função par (isto é, f(-x)=f(x)). Isso implica duas coisas importantes:
  • Todos os coeficientes b_{n} serão zero, porque o integrando f(x)\sin(nx) é produto de uma função par por uma ímpar, resultando numa função ímpar cuja integral simétrica em [- \pi,\pi] é zero.
  • A série de Fourier será puramente em cossenos (mais o termo constante a_{0}/2).
    Vou calcular a_{0} e os a_{n} explicitamente.

Passo 3

Cálculo de a_{0}. Primeiro, aproveito a identidade trigonométrica clássica (que é útil e muito usada):
\cos^{2}(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}.
Explico rapidamente: essa fórmula vem da identidade de duplicação do cosseno e é muito prática para integrar potências de cosseno.
Usando essa identidade,
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos^{2}(x)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1+\cos(2x)}{2}\,dx.
Agora calcule as duas integrais separadamente. A integral de 1/2 em [- \pi,\pi] é (1/2)\cdot 2\pi=\pi. A integral de \frac{1}{2}\cos(2x) em [- \pi,\pi] é zero porque \cos(2x) tem média zero no período inteiro. Logo
a_{0}=\frac{1}{\pi}\cdot \pi=1.
Portanto o termo constante na série é \dfrac{a_{0}}{2}=\dfrac{1}{2}.

Passo 4

Mostro que b_{n}=0 para todo n\ge1. Como já observei, f(x)=\cos^{2}(x) é par e \sin(nx) é ímpar, o produto é ímpar. Assim, por simetria do intervalo,
b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos^{2}(x)\sin(nx)\,dx=0\qquad\text{para todo }n\ge1.

Passo 5

Cálculo de a_{n} para n\ge1. Parto novamente da identidade \cos^{2}(x)=\dfrac{1+\cos(2x)}{2} e substituo na definição de a_{n}:
a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos^{2}(x)\cos(nx)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1+\cos(2x)}{2}\cos(nx)\,dx.
Separe em duas partes:
a_{n}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\,dx +\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(2x)\cos(nx)\,dx.
A primeira integral é zero para todo n\ge1 porque \cos(nx) tem média zero em um período inteiro. Portanto
a_{n}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(2x)\cos(nx)\,dx.

Passo 6

Calcule a integral \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\cos(2x)\cos(nx)\,dx\) usando a identidade produto-para-soma (que é uma ferramenta padrão e prática): \[\cos(2x)\cos(nx)=\frac{1}{2}\bigl(\cos((2-n)x)+\cos((2+n)x)\bigr).
Então
\int_{-\pi}^{\pi}\cos(2x)\cos(nx)\,dx =\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\cos((2-n)x)\,dx+\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\cos((2+n)x)\,dx.
Cada integral \int_{-\pi}^{\pi}\cos(kx)\,dx vale zero, exceto quando k=0, caso em que vale 2\pi. Aqui k=2-n ou k=2+n. O caso 2+n=0 não ocorre para n\ge1. O caso 2-n=0 acontece apenas quando n=2. Portanto:
  • Se n\neq2 então ambas as integrais são zero e a integral total é zero.
  • Se n=2 então \cos((2-n)x)=\cos(0x)=1 e \int_{-\pi}^{\pi}1\,dx=2\pi. Assim a integral vale \tfrac{1}{2}\cdot 2\pi=\pi.
Concluindo,
\int_{-\pi}^{\pi}\cos(2x)\cos(nx)\,dx= \begin{cases} \pi,& n=2,\\[4pt] 0,& n\neq2. \end{cases}
Logo, voltando a (a_{n}],
a_{n}=\frac{1}{2\pi}\times \begin{cases} \pi,& n=2,\\[4pt] 0,& n\neq2, \end{cases} = \begin{cases} \dfrac{1}{2},& n=2,\\[6pt] 0,& n\neq2. \end{cases}]

Passo 7

Reúna os coeficientes e escreva a série de Fourier completa. Sabendo que a_{0}=1, a_{2}=\dfrac{1}{2}, a_{n}=0 para n\neq2 e b_{n}=0 para todo n, a série fica
f(x)\sim \frac{a_{0}}{2}+a_{2}\cos(2x) =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(2x).
Isto coincide com a identidade trigonométrica inicial \cos^{2}(x)=\dfrac{1+\cos(2x)}{2}, portanto a expansão é exata (não-necessária soma infinita além do termo n=2).

Resposta

\displaystyle \cos^{2}(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(2x),\qquad -\pi<x<\pi

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