Observação inicial e estratégia simples (sem ainda calcular): f(x)=\cos^{2}(x) é uma função par (isto é, f(-x)=f(x)). Isso implica duas coisas importantes:
Todos os coeficientes b_{n} serão zero, porque o integrando f(x)\sin(nx) é produto de uma função par por uma ímpar, resultando numa função ímpar cuja integral simétrica em [- \pi,\pi] é zero.
A série de Fourier será puramente em cossenos (mais o termo constante a_{0}/2).
Vou calcular a_{0} e os a_{n} explicitamente.
Passo 3
Cálculo de a_{0}. Primeiro, aproveito a identidade trigonométrica clássica (que é útil e muito usada):
\cos^{2}(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}.
Explico rapidamente: essa fórmula vem da identidade de duplicação do cosseno e é muito prática para integrar potências de cosseno.
Agora calcule as duas integrais separadamente. A integral de 1/2 em [- \pi,\pi] é (1/2)\cdot 2\pi=\pi. A integral de \frac{1}{2}\cos(2x) em [- \pi,\pi] é zero porque \cos(2x) tem média zero no período inteiro. Logo
a_{0}=\frac{1}{\pi}\cdot \pi=1.
Portanto o termo constante na série é \dfrac{a_{0}}{2}=\dfrac{1}{2}.
Passo 4
Mostro que b_{n}=0 para todo n\ge1. Como já observei, f(x)=\cos^{2}(x) é par e \sin(nx) é ímpar, o produto é ímpar. Assim, por simetria do intervalo,
b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos^{2}(x)\sin(nx)\,dx=0\qquad\text{para todo }n\ge1.
Passo 5
Cálculo de a_{n} para n\ge1. Parto novamente da identidade \cos^{2}(x)=\dfrac{1+\cos(2x)}{2} e substituo na definição de a_{n}:
Calcule a integral \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\cos(2x)\cos(nx)\,dx\) usando a identidade produto-para-soma (que é uma ferramenta padrão e prática):
\[\cos(2x)\cos(nx)=\frac{1}{2}\bigl(\cos((2-n)x)+\cos((2+n)x)\bigr).
Cada integral \int_{-\pi}^{\pi}\cos(kx)\,dx vale zero, exceto quando k=0, caso em que vale 2\pi. Aqui k=2-n ou k=2+n. O caso 2+n=0 não ocorre para n\ge1. O caso 2-n=0 acontece apenas quando n=2. Portanto:
Se n\neq2 então ambas as integrais são zero e a integral total é zero.
Se n=2 então \cos((2-n)x)=\cos(0x)=1 e \int_{-\pi}^{\pi}1\,dx=2\pi. Assim a integral vale \tfrac{1}{2}\cdot 2\pi=\pi.
Reúna os coeficientes e escreva a série de Fourier completa. Sabendo que a_{0}=1, a_{2}=\dfrac{1}{2}, a_{n}=0 para n\neq2 e b_{n}=0 para todo n, a série fica
Isto coincide com a identidade trigonométrica inicial \cos^{2}(x)=\dfrac{1+\cos(2x)}{2}, portanto a expansão é exata (não-necessária soma infinita além do termo n=2).