Determine o raio de convergência da série de potências abaixo:
sumn=0^infty (-1)^n(x-5)^2 n64^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o raio de convergência da série de potências dada por:
sumn=0^infty (-1)^n(x-5)^2 n64^2
Aqui, estamos lidando com séries de potências, e para encontrar o raio de convergência, vamos usar o Critério da Razão. Vamos precisar entender como aplicar esse critério passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a série para facilitar o uso do Critério da Razão. Observamos que o denominador é 64^2, que é constante para todos os termos da série. Assim, podemos reescrever a série como:
sumn=0^infty (-1)^n(x-5)^2n4096

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Critério da Razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência de uma série de potências. O critério diz que o raio de convergência R está relacionado ao limite:
1R = limn to infty | an+1an |
onde an é o termo geral da série.

Passo 4

Identificamos o termo geral an da nossa série:
an = (-1)^n(x-5)^2n4096
Agora, calculamos an+1:
an+1 = (-1)^n+1(x-5)^2(n+1)4096 = (-1)^n+1(x-5)^2n + 24096

Passo 5

Vamos agora calcular o quociente | an+1an |:
| an+1an | = | (-1)^n+1(x-5)^2n + 24096 cdot 4096(-1)^n (x-5)^2n |
Simplificando:
= | (-1) cdot (x-5)^2 | = |(x-5)^2| = (x-5)^2

Passo 6

Aplicando o limite para o Critério da Razão:
1R = limn to infty (x-5)^2
No entanto, como (x-5)^2 não depende de n, o limite é simplesmente (x-5)^2. Então:
1R = (x-5)^2

Passo 7

Para encontrar o raio de convergência R, resolvemos a equação:
1R = (x-5)^2 implies R = 1(x-5)^2
Entretanto, isso não faz sentido neste contexto, pois o raio de convergência deve ser uma constante que define o intervalo onde a série converge. Vamos reavaliar o Critério da Razão aplicado.
Na verdade, percebemos que aplicamos o critério de forma incorreta. A série dada é uma série com termos quadráticos, ou seja, (x-5)^2n = [(x-5)^2]^n. Isso sugere que podemos reescrever a série como uma série geométrica.

Passo 8

Vamos reescrever a série:
sumn=0^infty (-1)^n [(x-5)^2]^n4096 = 14096 sumn=0^infty [ - (x-5)^2 ]^n
Essa é uma série geométrica da forma sumn=0^infty ar^n, onde r = - (x-5)^2. Sabemos que uma série geométrica converge se |r| < 1.

Passo 9

Aplicando a condição de convergência:
| - (x-5)^2 | < 1 implies |(x-5)^2| < 1 implies (x-5)^2 < 1
Agora, resolvemos a desigualdade:
(x-5)^2 < 1 implies -1 < x-5 < 1
implies 4 < x < 6

Passo 10

O intervalo de convergência é de 4 a 6, o que significa que o raio de convergência R é a metade do comprimento desse intervalo. Como 6 - 4 = 2, temos:
R = 22 = 1

Resposta

O raio de convergência da série é R = 1.

Exercícios relacionados