Determine o raio de convergência da série de potências abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o raio de convergência da série de potências dada por:
Aqui, estamos lidando com séries de potências, e para encontrar o raio de convergência, vamos usar o Critério da Razão. Vamos precisar entender como aplicar esse critério passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a série para facilitar o uso do Critério da Razão. Observamos que o denominador é , que é constante para todos os termos da série. Assim, podemos reescrever a série como:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Critério da Razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência de uma série de potências. O critério diz que o raio de convergência está relacionado ao limite:
No entanto, como (x-5)^2 não depende de n, o limite é simplesmente (x-5)^2. Então:
1R = (x-5)^2
Passo 7
Para encontrar o raio de convergência R, resolvemos a equação:
1R = (x-5)^2 implies R = 1(x-5)^2
Entretanto, isso não faz sentido neste contexto, pois o raio de convergência deve ser uma constante que define o intervalo onde a série converge. Vamos reavaliar o Critério da Razão aplicado.
Na verdade, percebemos que aplicamos o critério de forma incorreta. A série dada é uma série com termos quadráticos, ou seja, (x-5)^2n = [(x-5)^2]^n. Isso sugere que podemos reescrever a série como uma série geométrica.