Para as séries de potências abaixo, determine o raio de convergência e o intervalo de convergência.
(2,5) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^{n} x^{n}}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado fornece a série de potências (centrada em zero):
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^{n} x^{n}}{n^{2}}.
O que nos pedem:
  • Determinar o raio de convergência R.
  • Determinar o intervalo de convergência (ou seja, os valores de x para os quais a série converge, incluindo a verificação nas extremidades).
Informações relevantes dadas:
  • Os termos gerais da série são a_n x^n com a_n=\dfrac{5^{n}}{n^{2}}.
  • A série começa em n=1.

Passo 2

O que é o raio de convergência e como vamos encontrá-lo (explicação didática curta).
  • Para uma série de potências \sum_{n=0}^\infty a_n x^n (ou começando em n=1), o raio de convergência R é o número tal que a série convergirá para |x|<R e divergirá para |x|>R. Para |x|=R é necessário testar caso a caso.
  • Um modo prático de obter R é aplicar o teste da razão (ou o teste da raiz). Vou usar o teste da razão porque os coeficientes têm fator exponencial 5^n e a razão entre termos consecutivos fica simples.

Passo 3

Aplicando o teste da razão (passo a passo).
  • Considere os termos gerais da série com x fixo: u_n=\dfrac{5^{n} x^{n}}{n^{2}}.
  • O teste da razão pede o limite
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|.
Calculemos essa razão:
\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right| =\left|\frac{\dfrac{5^{n+1} x^{n+1}}{(n+1)^{2}}}{\dfrac{5^{n} x^{n}}{n^{2}}}\right| =|x|\cdot 5\cdot\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}.
  • Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty} |x|\cdot 5\cdot\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}} =|x|\cdot 5\cdot\left(\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}\right)^{2} =|x|\cdot 5\cdot 1^{2} =5|x|.
  • Pelo teste da razão, a série converge se L<1, ou seja se
5|x|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|<\frac{1}{5}.
Portanto o raio de convergência é
R=\frac{1}{5}.
(Comentário didático: isso equivale ao uso da fórmula geral R=1/\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}. Aqui |a_n|^{1/n}=(5^n/n^2)^{1/n}=5\cdot n^{-2/n} e como \lim_{n\to\infty}n^{-2/n}=1, obtemos R=1/5.)

Passo 4

Determinação do intervalo de convergência — verificação nas extremidades.
  • Sabemos que a série converge para |x|<\dfrac{1}{5} e diverge para |x|>\dfrac{1}{5}. Restam os pontos x=\dfrac{1}{5} e x=-\dfrac{1}{5}.
Verificação em x=\dfrac{1}{5}:
  • Substituindo em cada termo:
\frac{5^{n}\left(\dfrac{1}{5}\right)^{n}}{n^{2}}=\frac{1}{n^{2}}.
  • A série torna-se \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^{2}}, que é a conhecida série p-série com p=2>1, logo converge absolutamente. Portanto x=\dfrac{1}{5} pertence ao intervalo de convergência.
Verificação em x=-\dfrac{1}{5}:
  • Substituindo em cada termo:
\frac{5^{n}\left(-\dfrac{1}{5}\right)^{n}}{n^{2}}=\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}.
  • A série torna-se \sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^{n}}{n^{2}}. Como \sum \dfrac{1}{n^{2}} converge, a série alternada também converge absolutamente (na verdade os termos têm módulo \dfrac{1}{n^{2}}), então também converge. Portanto x=-\dfrac{1}{5} pertence ao intervalo de convergência.

Passo 5

Conclusão compacta (recapitulando de forma prática e motivadora).
  • Raio de convergência: R=\dfrac{1}{5}.
  • Intervalo de convergência: todos os x tais que |x|\le \dfrac{1}{5}, isto é \left[-\dfrac{1}{5},\,\dfrac{1}{5}\right].
  • Observação final de estudo: quando os coeficientes têm fator exponencial c^{n}, a razão entre termos consecutivos costuma levar facilmente ao valor |c||x| e daí ao raio 1/|c|. Guarda essa dica — ela economiza tempo na prova!

Resposta

R = \dfrac{1}{5}
Intervalo de convergência: \left[-\dfrac{1}{5},\,\dfrac{1}{5}\right]

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