Para as séries de potências abaixo, determine o raio de convergência e o intervalo de convergência. (2,5) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^{n} x^{n}}{n^{2}}
Passo 1
O enunciado fornece a série de potências (centrada em zero):
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^{n} x^{n}}{n^{2}}.
O que nos pedem:
Determinar o raio de convergência R.
Determinar o intervalo de convergência (ou seja, os valores de x para os quais a série converge, incluindo a verificação nas extremidades).
Informações relevantes dadas:
Os termos gerais da série são a_n x^n com a_n=\dfrac{5^{n}}{n^{2}}.
A série começa em n=1.
Passo 2
O que é o raio de convergência e como vamos encontrá-lo (explicação didática curta).
Para uma série de potências \sum_{n=0}^\infty a_n x^n (ou começando em n=1), o raio de convergência R é o número tal que a série convergirá para |x|<R e divergirá para |x|>R. Para |x|=R é necessário testar caso a caso.
Um modo prático de obter R é aplicar o teste da razão (ou o teste da raiz). Vou usar o teste da razão porque os coeficientes têm fator exponencial 5^n e a razão entre termos consecutivos fica simples.
Passo 3
Aplicando o teste da razão (passo a passo).
Considere os termos gerais da série com x fixo: u_n=\dfrac{5^{n} x^{n}}{n^{2}}.
(Comentário didático: isso equivale ao uso da fórmula geral R=1/\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}. Aqui |a_n|^{1/n}=(5^n/n^2)^{1/n}=5\cdot n^{-2/n} e como \lim_{n\to\infty}n^{-2/n}=1, obtemos R=1/5.)
Passo 4
Determinação do intervalo de convergência — verificação nas extremidades.
Sabemos que a série converge para |x|<\dfrac{1}{5} e diverge para |x|>\dfrac{1}{5}. Restam os pontos x=\dfrac{1}{5} e x=-\dfrac{1}{5}.
A série torna-se \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^{2}}, que é a conhecida série p-série com p=2>1, logo converge absolutamente. Portanto x=\dfrac{1}{5} pertence ao intervalo de convergência.
A série torna-se \sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^{n}}{n^{2}}. Como \sum \dfrac{1}{n^{2}} converge, a série alternada também converge absolutamente (na verdade os termos têm módulo \dfrac{1}{n^{2}}), então também converge. Portanto x=-\dfrac{1}{5} pertence ao intervalo de convergência.
Passo 5
Conclusão compacta (recapitulando de forma prática e motivadora).
Raio de convergência: R=\dfrac{1}{5}.
Intervalo de convergência: todos os x tais que |x|\le \dfrac{1}{5}, isto é \left[-\dfrac{1}{5},\,\dfrac{1}{5}\right].
Observação final de estudo: quando os coeficientes têm fator exponencial c^{n}, a razão entre termos consecutivos costuma levar facilmente ao valor |c||x| e daí ao raio 1/|c|. Guarda essa dica — ela economiza tempo na prova!
Resposta
R = \dfrac{1}{5}
Intervalo de convergência: \left[-\dfrac{1}{5},\,\dfrac{1}{5}\right]