(3 pontos) Considere a função f(x)=e^{x}.
a) (1,0) Encontre a série de Taylor da função f(x) centrada em a=1. Determine também o raio de convergência.
b) (1,0) Encontre a série de Maclaurin de f(x)=e^{x}. Utilize essa expressão para deduzir uma série que represente a função
g(x)=e^{-3 x^{2}}
c) (1,0) Escreva a integral
\int e^{-3 x^{2}} d x
sob a forma de uma série de potências.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=e^{x} e pede três coisas:
  • (a) Encontrar a série de Taylor de f centrada em a=1 e determinar o raio de convergência.
  • (b) Encontrar a série de Maclaurin (Série de Taylor centrada em 0) de f(x)=e^{x} e, usando essa expressão, deduzir uma série para g(x)=e^{-3x^{2}}.
  • (c) Escrever a integral \displaystyle \int e^{-3x^{2}}\,dx sob a forma de uma série de potências.
Informações relevantes dadas explicitamente:
  • A função é f(x)=e^{x}.
  • Para (a) a série deve ser centrada em a=1.
  • Para (b) usar a série de Maclaurin de e^{x} e manipular para obter e^{-3x^{2}}.
  • Para (c) integrar a série obtida em (b) termo a termo (quando for válido) para expressar a primitiva em série.

Passo 2

Fórmula de Taylor (lembrete didático): se uma função f é infinitamente diferenciável num ponto a, a série de Taylor centrada em a é
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}\,(x-a)^{n},
onde f^{(n)}(a) é a n-ésima derivada de f avaliada em a. Aqui cada termo tem a forma \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n. Não se preocupe com jargões — é só: calcular as derivadas em a, dividir por n! e multiplicar por (x-a)^n.
Aplicando isso a f(x)=e^{x}: todas as derivadas de e^{x} são e^{x}, logo para qualquer n,
f^{(n)}(x)=e^{x}\qquad\text{e em particular}\qquad f^{(n)}(1)=e^{1}=e.
Portanto os coeficientes da série centrada em a=1 são \dfrac{f^{(n)}(1)}{n!}=\dfrac{e}{n!}.

Passo 3

Escrevendo explicitamente a série de Taylor centrada em a=1 usando os coeficientes calculados:
e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{e}{n!}\,(x-1)^{n}=e\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-1)^{n}}{n!}.
Isso é a série pedida em (a). Como exemplo concreto, os primeiros termos são
e^{x}=e\left(1+(x-1)+\frac{(x-1)^{2}}{2!}+\frac{(x-1)^{3}}{3!}+\cdots\right).

Passo 4

Determinar o raio de convergência (didático): para uma série de potências \sum c_n (x-a)^n o raio R pode ser obtido pelo teste da razão:
R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|
quando esse limite existe (ou via \limsup das raízes). Aqui c_n=\dfrac{e}{n!}. Calcule
\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|=\frac{e/n!}{e/(n+1)!}=\frac{(n+1)!}{n!}=n+1.
Tomando o limite quando n\to\infty +\infty. Isso significa que o raio de convergência é R=\infty: a série converge para todo x\in\mathbb{R}. (Intuição: e^{x} é uma função inteira, então sua série tem raio infinito.)

Passo 5

Maclaurin de e^{x} (parte b, primeiro item): a série de Taylor centrada em 0 (Maclaurin) segue da mesma fórmula com a=0. Como antes todas as derivadas em 0 valem e^{0}=1, temos
e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots.
Essa série também tem raio de convergência infinito.

Passo 6

Usar a Maclaurin de e^{x} para obter a série de g(x)=e^{-3x^{2}}: basta substituir x por -3x^{2} na série de e^{x}. Fazendo isso,
e^{-3x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-3x^{2})^{n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-3)^{n}}{n!}\,x^{2n}.
Escrevendo alguns termos iniciais para ficar mais concreto:
e^{-3x^{2}}=1+(-3)x^{2}+\frac{(-3)^{2}}{2!}x^{4}+\frac{(-3)^{3}}{3!}x^{6}+\cdots.
O raio de convergência continua sendo infinito porque a substituição não altera o fato da série original convergir para todo argumento.

Passo 7

Integral como série (parte c): justificação rápida e didática — se uma série de potências converge uniformemente num intervalo compacto, pode-se integrar termo a termo nesse intervalo. A série obtida para e^{-3x^{2}} é uma série de potências em x com raio infinito, então é seguro integrar termo a termo em qualquer intervalo finito.
Integrando termo a termo:
\int e^{-3x^{2}}\,dx=\int \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-3)^{n}}{n!}\,x^{2n}\,dx =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-3)^{n}}{n!}\int x^{2n}\,dx.
A integral de x^{2n} é \dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}. Portanto
\int e^{-3x^{2}}\,dx = C+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-3)^{n}}{n!}\,\frac{x^{2n+1}}{2n+1},
onde C é a constante de integração. Escrevendo os primeiros termos:
\int e^{-3x^{2}}\,dx = C + x - \frac{3}{3!}x^{3} + \frac{(-3)^{2}}{2!\,5}x^{5} - \frac{(-3)^{3}}{3!\,7}x^{7} + \cdots
(para verificar os coeficientes, manter a forma geral \dfrac{(-3)^n}{n!(2n+1)}x^{2n+1} é mais claro).

Resposta

(a) \displaystyle e^{x}=e\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-1)^{n}}{n!}, Raio de convergência: R=\infty.
(b) \displaystyle e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}. Portanto \displaystyle e^{-3x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-3)^{n}}{n!}\,x^{2n}.
(c) \displaystyle \int e^{-3x^{2}}\,dx = C+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-3)^{n}}{n!}\,\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.

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