(3 pontos) Considere a função f(x)=e^{x}.
a) (1,0) Encontre a série de Taylor da função f(x) centrada em a=1. Determine também o raio de convergência.
b) (1,0) Encontre a série de Maclaurin de f(x)=e^{x}. Utilize essa expressão para deduzir uma série que represente a função
g(x)=e^{-3 x^{2}}
c) (1,0) Escreva a integral
\int e^{-3 x^{2}} d x
sob a forma de uma série de potências.
Passo 1
O enunciado dá a função f(x)=e^{x} e pede três coisas:
(a) Encontrar a série de Taylor de f centrada em a=1 e determinar o raio de convergência.
(b) Encontrar a série de Maclaurin (Série de Taylor centrada em 0) de f(x)=e^{x} e, usando essa expressão, deduzir uma série para g(x)=e^{-3x^{2}}.
(c) Escrever a integral \displaystyle \int e^{-3x^{2}}\,dx sob a forma de uma série de potências.
Informações relevantes dadas explicitamente:
A função é f(x)=e^{x}.
Para (a) a série deve ser centrada em a=1.
Para (b) usar a série de Maclaurin de e^{x} e manipular para obter e^{-3x^{2}}.
Para (c) integrar a série obtida em (b) termo a termo (quando for válido) para expressar a primitiva em série.
Passo 2
Fórmula de Taylor (lembrete didático): se uma função f é infinitamente diferenciável num ponto a, a série de Taylor centrada em a é
onde f^{(n)}(a) é a n-ésima derivada de f avaliada em a. Aqui cada termo tem a forma \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n. Não se preocupe com jargões — é só: calcular as derivadas em a, dividir por n! e multiplicar por (x-a)^n.
Aplicando isso a f(x)=e^{x}: todas as derivadas de e^{x} são e^{x}, logo para qualquer n,
f^{(n)}(x)=e^{x}\qquad\text{e em particular}\qquad f^{(n)}(1)=e^{1}=e.
Portanto os coeficientes da série centrada em a=1 são \dfrac{f^{(n)}(1)}{n!}=\dfrac{e}{n!}.
Passo 3
Escrevendo explicitamente a série de Taylor centrada em a=1 usando os coeficientes calculados:
Tomando o limite quando n\to\infty dá +\infty. Isso significa que o raio de convergência é R=\infty: a série converge para todo x\in\mathbb{R}. (Intuição: e^{x} é uma função inteira, então sua série tem raio infinito.)
Passo 5
Maclaurin de e^{x} (parte b, primeiro item): a série de Taylor centrada em 0 (Maclaurin) segue da mesma fórmula com a=0. Como antes todas as derivadas em 0 valem e^{0}=1, temos
O raio de convergência continua sendo infinito porque a substituição não altera o fato da série original convergir para todo argumento.
Passo 7
Integral como série (parte c): justificação rápida e didática — se uma série de potências converge uniformemente num intervalo compacto, pode-se integrar termo a termo nesse intervalo. A série obtida para e^{-3x^{2}} é uma série de potências em x com raio infinito, então é seguro integrar termo a termo em qualquer intervalo finito.