Nas séries de potências a seguir, determine o raio de convergência e para quais valores de x a série converge (verifique a convergência nos extremos, quando for o caso):
sumn=1^infty 5^n(x-1)^nn^2

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo (incluindo teste nos extremos) da série de potências sumn=1^infty5^n(x-1)^nn^2. Vamos usar o teste da razão para séries de potências.

Passo 2

Aplicando o teste da razão, considere o termo geral an=tfrac5^n(x-1)^nn^2. Calculamos
L=limntoinfty|an+1an| =limntoinfty5^n+1|x-1|^n+1/(n+1)^25^n|x-1|^n/n^2 =|5(x-1)|limntoinftyn^2(n+1)^2 =|5(x-1)|
A série converge se L<1, isto é |5(x-1)|<1.

Passo 3

Da condição |5(x-1)|<1 obtemos o raio de convergência
|x-1|<15,
logo R=1/5. Isso dá o intervalo aberto de convergência (1-1/5,1+1/5)=(4/5,6/5).

Passo 4

Agora testamos os extremos:
  1. Para x=6/5, temos x-1=1/5 e o termo geral vira
5^n(1/5)^nn^2=1n^2,
que converge pelo critério da série-p com p=2>1.
2) Para x=4/5, temos x-1=-1/5 e o termo geral é
5^n(-1/5)^nn^2=(-1)^nn^2,
que também converge absolutamente pelo mesmo critério p=2>1.

Resposta

O raio de convergência é R = 1/5 e a série converge para todo x no intervalo [4/5, 6/5].

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