Nas séries de potências a seguir, determine o raio de convergência e para quais valores de a série converge (verifique a convergência nos extremos, quando for o caso):
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo (incluindo teste nos extremos) da série de potências . Vamos usar o teste da razão para séries de potências.
Passo 2
Aplicando o teste da razão, considere o termo geral . Calculamos
A série converge se L<1, isto é |5(x-1)|<1.
Passo 3
Da condição |5(x-1)|<1 obtemos o raio de convergência
|x-1|<15,
logo R=1/5. Isso dá o intervalo aberto de convergência (1-1/5,1+1/5)=(4/5,6/5).
Passo 4
Agora testamos os extremos:
Para x=6/5, temos x-1=1/5 e o termo geral vira
5^n(1/5)^nn^2=1n^2,
que converge pelo critério da série-p com p=2>1.
2) Para x=4/5, temos x-1=-1/5 e o termo geral é
5^n(-1/5)^nn^2=(-1)^nn^2,
que também converge absolutamente pelo mesmo critério p=2>1.
Resposta
O raio de convergência é R = 1/5 e a série converge para todo x no intervalo [4/5, 6/5].