As superfícies internas de um grande edifício são mantidas a 20^{\circ} \mathrm{C}, enquanto que a temperatura na superfície externa é - 20^{\circ} \mathrm{C}. As paredes medem 25 cm de espessura, e foram construídas com tijolos de condutividade térmica de 0,6 \mathrm{kcal} /\left(\mathrm{h} . \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C}\right).
a) Calcular a perda de calor para cada metro quadrado de superfície por hora. Q" =96 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m}^{2}
b) Sabendo-se que a área total do edifício é 1000 \mathrm{~m}^{2} e que o poder calorífico do carvão é de 5500 \mathrm{kcal} / \mathrm{kg}, determinar a quantidade de carvão a ser usada em um sistema de aquecimento durante um período
M carvão = 261,82 kg
de 10 h . Supor rendimento do sistema de aquecimento igual a 50 \%.

Passo 1

Enunciado e dados (o que o problema pede e o que nos foi dado):
  • A temperatura interna é 20^\circ\mathrm{C}.
  • A temperatura externa é -20^\circ\mathrm{C}.
  • Espessura da parede 25\\ \mathrm{cm} (dado do enunciado).
  • Condutividade térmica dos tijolos k=0,6\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot{}^\circ\mathrm{C}) (dado do enunciado).
  • Área total do edifício A=1000\\ \mathrm{m}^2 (parte b).
  • Poder calorífico do carvão CV=5500\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{kg} (parte b).
  • Período de aquecimento t=10\\ \mathrm{h} (parte b).
  • Rendimento do sistema \eta=50\%=0,5 (parte b).
Perguntas que o enunciado faz:
a) Calcular a perda de calor por hora para cada metro quadrado de superfície (isto é, o fluxo de calor por unidade de área, q'', em \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2)).
b) Sabendo a área total, o poder calorífico do carvão, o tempo ( 10\\ \mathrm{h}) e o rendimento ( 50\%), determinar a massa de carvão necessária para manter o aquecimento durante esse período.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Para condução estacionária unidimensional através de uma parede plana e homogênea, usamos a lei de Fourier no caso médio (gradiente constante). A forma diferencial é
q'' = -k\,\frac{dT}{dx},
onde:
  • q'' é o fluxo de calor por unidade de área (positivo no sentido do fluxo), em \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2);
  • k é a condutividade térmica do material em \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot{}^\circ\mathrm{C});
  • dT/dx é o gradiente de temperatura através da espessura.
  • Se a parede tem espessura uniforme L e a diferença de temperatura entre faces é \Delta T, o gradiente é aproximadamente \Delta T/L constante, e a fórmula de uso prático é
q'' = k\,\frac{\Delta T}{L}.
Explicação intuitiva: quanto maior a condutividade k, mais fácil o calor passa; quanto maior a diferença de temperatura \Delta T, maior o fluxo; quanto maior a espessura L, menor o fluxo (maior resistência térmica).

Passo 3

Calcular a diferença de temperatura \Delta T:
A temperatura interior é 20^\circ\mathrm{C} e a exterior é -20^\circ\mathrm{C}. Logo,
\Delta T = 20 - (-20) = 40\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Converter a espessura para metros (unidades compatíveis com k):
A espessura dada é 25\\ \mathrm{cm}. Em metros:
L = 25\\ \mathrm{cm} = 0,25\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Aplicar a fórmula para obter a perda por unidade de área:
Usando
q'' = k\,\frac{\Delta T}{L},
substituímos k=0,6, \Delta T=40 e L=0,25:
q'' = 0,6\cdot\frac{40}{0,25}.
Calcule passo a passo: \dfrac{40}{0,25}=160 e 0,6\cdot160=96. Portanto
q'' = 96\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2).
(Isto responde a parte a).)

Passo 6

Passar do fluxo por metro quadrado para a perda total por hora do edifício:
A perda por hora total é \dot Q = q''\cdot A. Com q''=96\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2) e A=1000\\ \mathrm{m}^2:
\dot Q = 96\cdot 1000 = 96\,000\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}.

Passo 7

Energia total necessária no período de t=10\\ \mathrm{h}:
Multiplicamos a potência térmica pela duração:
E_{\text{necessária}} = \dot Q \cdot t = 96\,000\cdot 10 = 960\,000\\ \mathrm{kcal}.á

Passo 8

Levar em conta o rendimento do sistema:
O sistema tem rendimento \eta=0,5. Isso significa que apenas 50\% da energia química do carvão é transformada em calor útil. A energia química que deve ser fornecida pelo carvão é
E_{\text{química}} = \frac{E_{\text{necessária}}}{\eta} = \frac{960\,000}{0,5} = 1\,920\,000\\ \mathrm{kcal}.íá

Passo 9

Converter energia química requerida em massa de carvão usando o poder calorífico:
O poder calorífico é CV=5500\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{kg}. A massa de carvão necessária é
m = \frac{E_{\text{química}}}{CV} = \frac{1\,920\,000}{5500}.í
Calcule:
m \approx 349{,}0909\\ \mathrm{kg}.
Arredondando convenientemente (duas casas decimais):
m \approx 349{,}09\\ \mathrm{kg}.

Resposta

a) q''=96\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^{2})
b) m\approx349{,}09\\ \mathrm{kg}

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