Uma parede de um fornalha de 0,244 \mathrm{~m} de espessura é construída de um material de condutividade térmica de 1,30 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}. A parede será isolada externamente por um material de k médio de 0,346 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} assim, o calor perdido pela fornalha deverá ser igual ou menor do que 1830 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}. A temperatura da superfície interna da fornalha é 1588 K e a temperatura da parede externa do isolante é 299 K . Calcule a espessura do isolamento requerido.
\mathrm{R}=L=0,179 m

Passo 1

O que o problema pede e os dados fornecidos:
  • Pedido: calcular a espessura do isolamento externo necessária para que a perda de calor por unidade de área seja igual ou menor que 1830\\ \mathrm{W/m^{2}}.
  • Dados fornecidos:
    • Espessura da parede interna: L_{w}=0,244\\ \mathrm{m}.
    • Condutividade térmica da parede interna: k_{w}=1,30\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
    • Condutividade térmica do isolamento: k_{i}=0,346\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
    • Fluxo de calor máximo permitido por área: q''_{\max}=1830\\ \mathrm{W/m^{2}}.
    • Temperatura da superfície interna (lado quente): T_{in}=1588\\ \mathrm{K}.
    • Temperatura da superfície externa do isolamento (lado frio): T_{out}=299\\ \mathrm{K}.

Passo 2

Entender a física e a fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Em regime permanente e condução unidimensional através de duas camadas planas em série (parede interna + isolamento), o fluxo de calor por unidade de área é dado por
q''=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}},
onde:
  • q'' é o fluxo de calor por unidade de área ( \mathrm{W/m^{2}});
  • \Delta T=T_{in}-T_{out} é a diferença de temperatura entre as superfícies ( \mathrm{K});
  • R_{\text{total}} é a resistência térmica total por unidade de área ( \mathrm{m^{2}\cdot K/W}).
  • Para camadas em série sem convecção adicional, a resistência térmica por unidade de área de cada camada é
R=\frac{L}{k},
onde:
  • L é a espessura da camada ( \mathrm{m});
  • k é a condutividade térmica ( \mathrm{W/(m\cdot K)});
  • a unidade de R é \mathrm{m^{2}\cdot K/W}.
  • Assim, a resistência total por unidade de área é
R_{\text{total}}=\frac{L_{w}}{k_{w}}+\frac{L_{i}}{k_{i}},
onde L_{i} é a espessura desconhecida do isolamento que queremos encontrar.

Passo 3

Isolar L_{i} na equação a partir da condição limite q''=q''_{\max}:
  • Reescrevendo a fórmula do fluxo:
q''_{\max}=\frac{\Delta T}{\dfrac{L_{w}}{k_{w}}+\dfrac{L_{i}}{k_{i}}}.
  • Invertendo para a resistência total necessária:
R_{\text{total,req}}=\frac{\Delta T}{q''_{\max}}.
  • A resistência necessária do isolamento por unidade de área será:
\frac{L_{i}}{k_{i}}=R_{\text{total,req}}-\frac{L_{w}}{k_{w}}.
  • Portanto a espessura do isolamento é
L_{i}=k_{i}\left(R_{\text{total,req}}-\frac{L_{w}}{k_{w}}\right).

Passo 4

Calcular a diferença de temperatura \Delta T:
  • Usando os dados:
\Delta T=T_{in}-T_{out}=1588-299.
  • Calculando:
\Delta T=1289\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Calcular a resistência térmica total necessária R_{\text{total,req}}:
  • Aplicando
R_{\text{total,req}}=\frac{\Delta T}{q''_{\max}}=\frac{1289}{1830}.
  • Calculando o valor numérico:
R_{\text{total,req}}\approx 0,704918\\ \mathrm{m^{2}\cdot K/W}.

Passo 6

Calcular a resistência já fornecida pela parede interna e obter a resistência necessária do isolamento:
  • Resistência da parede interna:
\frac{L_{w}}{k_{w}}=\frac{0,244}{1,30}.
  • Calculando:
\frac{L_{w}}{k_{w}}\approx 0,187692\\ \mathrm{m^{2}\cdot K/W}.
  • Logo, resistência necessária do isolamento:
\frac{L_{i}}{k_{i}}=R_{\text{total,req}}-\frac{L_{w}}{k_{w}}\approx 0,704918-0,187692.
  • Calculando:
\frac{L_{i}}{k_{i}}\approx 0,517226\\ \mathrm{m^{2}\cdot K/W}.

Passo 7

Calcular a espessura do isolamento L_{i}:
  • Usando L_{i}=k_{i}\cdot\left(\dfrac{L_{i}}{k_{i}}\right):
L_{i}=k_{i}\times 0,517226 = 0,346\times 0,517226.
  • Calculando:
L_{i}\approx 0,178954\\ \mathrm{m}.
  • Arredondando de forma prática para prova e engenharia: L_{i}\approx 0,179\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Verificação rápida de consistência:
  • Resistência total com este L_{i}:
R_{\text{total}}=\frac{0,244}{1,30}+\frac{0,179}{0,346}\approx 0,187692+0,517226\approx 0,704918\\ \mathrm{m^{2}\cdot K/W},
o que dá exatamente o R_{\text{total,req}} usado e portanto
q''=\frac{1289}{0,704918}\approx 1830\\ \mathrm{W/m^{2}},
ou seja, atende a condição limite.

Resposta

L_{i}=0,179\\ \mathrm{m}

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