Considere uma amostra aleatória \left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right) onde as variáveis X_{i} são independente e têm distribuição N(12,5 ; 7). Considere o estimador \bar{X} da amostra. Calcule a média, a variância e o desvio padrão de \bar{X} para:
(b) n=50

Passo 1

O enunciado diz que temos uma amostra aleatória \bigl(X_{1},\dots,X_{n}\bigr) de variáveis independentes com distribuição normal \mathcal{N}\bigl(\mu=12{,}5,\;\sigma^{2}=7\bigr). Queremos o estimador de média amostral \bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}
e, para n=50, calcular \mathbb{E}(\bar{X}), \mathrm{Var}(\bar{X}) e o desvio padrão de \bar{X}. O conteúdo aqui é usar as propriedades de esperança e variância da média de variáveis independentes.

Passo 2

Em geral, se X_{1},\dots,X_{n} são independentes com \mathbb{E}(X_{i})=\mu e \mathrm{Var}(X_{i})=\sigma^{2}, então a média amostral
\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}
satisfaz
\mathbb{E}(\bar{X}) = \mu, \qquad \mathrm{Var}(\bar{X}) = \frac{\sigma^{2}}{n},
e o desvio padrão de \bar{X} é
\mathrm{SD}(\bar{X}) = \sqrt{\mathrm{Var}(\bar{X})} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}.

Passo 3

Agora, para \mu=12{,}5, \sigma^{2}=7 e n=50, temos
\mathbb{E}(\bar{X}) = \mu = 12{,}5,
\mathrm{Var}(\bar{X}) = \frac{\sigma^{2}}{n} = \frac{7}{50} = 0{,}14,
\mathrm{SD}(\bar{X}) = \sqrt{0{,}14} \approx 0{,}374.

Resposta

A média de \bar{X} é 12{,}5, a variância é 0{,}14 e o desvio padrão é aproximadamente 0{,}374.

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