Um software realiza testes automatizados, e cada teste tem 80 \% de chance de sucesso. São realizados 5 testes.
a. Determine a probabilidade de exatamente 5 testes serem bem-sucedidos;
b. Qual a probabilidade de três ou menos testes serem bem-sucedidos?
c. Determine a média e variância da distribuição de testes bem-sucedidos.

Passo 1

Temos n=5 testes independentes, cada um com probabilidade de sucesso p=0,8. Seja X o número de testes bem-sucedidos. Logo X\sim\mathrm{Binomial}(n=5,p=0,8). Vamos usar a fórmula
P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}
para calcular as probabilidades e as fórmulas
\mu = np,\quad \sigma^2 = np(1-p)
para média e variância.

Passo 2

Para (a), queremos P(X=5). Aplicando a fórmula:
P(X=5)=\binom{5}{5}(0,8)^5(0,2)^0 =1\cdot0,8^5\cdot1 =0,32768.

Passo 3

Para (b), calculamos
P(X\le3)=\sum_{k=0}^{3}\binom{5}{k}(0,8)^k(0,2)^{5-k}.
Os termos são
\,P(0)=0,00032,
\,P(1)=0,0064,
\,P(2)=0,0512,
\,P(3)=0,2048.
Somando:
P(X\le3)=0,00032+0,0064+0,0512+0,2048=0,26272.

Passo 4

Para (c), usamos as fórmulas da binomial:
\mu = np = 5\cdot0,8 = 4, \quad \sigma^2 = np(1-p) = 5\cdot0,8\cdot0,2 = 0,8.

Resposta

(a) 0,32768
(b) 0,26272
(c) \mu=4,\\ \sigma^2=0,8

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