Serway - P8.45: Deseja-se construir um solenoide que terá resistência de
(a 20,0
e produzirá um campo magnético de
no seu centro quando transporta uma corrente de
. O solenoide deve ser construído de fio de cobre com diâmetro de 0,500 mm . Se o raio do solenoide for de
, determine (a) o número necessário de voltas do fio e (b) o comprimento necessário do solenoide.
Passo 1
O enunciado pede que construamos um solenoide que tenha resistência
(a
) e que produza um campo magnético no centro de
quando percorrido por uma corrente de
. São fornecidos também o diâmetro do fio de cobre e o raio do solenoide. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
O que é pedido:
(a) o número de voltas do fio, ;
(b) o comprimento axial do solenoide, .
(a) o número de voltas do fio,
(b) o comprimento axial do solenoide,
Vou usar, como valor padrão para a resistividade do cobre a
,
Passo 2
Entender como ligar resistência e comprimento do fio.
A resistência de um fio homogêneo é dada por
onde
-
é a resistividade do material (aqui cobre), -
é o comprimento total do fio usado no solenoide, -
é a área da secção transversal do fio.
A área da seção transversal de um fio circular de raio
é
O fio tem diâmetro
, logo o raio do fio é
Calculemos
:
Passo 3
Determinar o comprimento total do fio a partir da resistência desejada.
Usando
e isolando
:
Substituindo os valores:
Portanto o comprimento total do fio disponível para fazer o solenoide é aproximadamente
.
Passo 4
Relacionar o comprimento do fio com o número de voltas.
Em primeira aproximação, cada volta tem comprimento igual à circunferência do solenoide,
(aqui consideramos o raio médio dado
). Assim, o comprimento total do fio é aproximadamente
Isolando
:
Substituindo
e
:
Arredondando para três algarismos significativos,
voltas.
Observação didática rápida: essa aproximação assume que o raio médio da bobina é o dado e que o acréscimo de comprimento devido a camadas externas (se houver) ou ao espaçamento entre voltas é pequeno na média — é uma hipótese padrão em problemas de projeto como este.
Passo 5
Usar a fórmula do campo magnético no centro de um solenoide longo para encontrar o comprimento
.
O campo magnético no interior (centro) de um solenoide longo é dado por
onde
-
é a permeabilidade do vácuo, , -
é o número de voltas por unidade de comprimento (densidade de voltas), -
é a corrente.
Queremos encontrar
. Reescrevendo:
Substituindo
,
,
e
:
Cancelemos o
numericamente para simplificar (aparece no numerador e denominador):
Calculando numericamente:
Arredondando para três algarismos significativos,
(ou
).
Passo 6
Verificação e interpretação física (útil para a prova — como checar consistência sem calculadora avançada).
A densidade de voltas obtida é
Se as voltas em cada camada axialmente ocupam um espaço igual ao diâmetro do fio, então cada camada teria
. O número total de camadas necessárias seria aproximadamente
Isto indica que, para atingir a densidade de voltas requerida com esse fio, serão necessárias cerca de 4 camadas de enrolamento — resultado físico consistente com nossas aproximações (por isso a suposição de raio médio e comprimento por volta permaneceu razoável).
Resposta
(a)
voltas
(b) (ou
)
(b)