Serway - P8.45: Deseja-se construir um solenoide que terá resistência de 5,00 \Omega (a 20,0 \left.{ }^{\circ} \mathrm{C}\right) e produzirá um campo magnético de 4,00.10^{-2} T no seu centro quando transporta uma corrente de 4,00 \mathrm{~A}. O solenoide deve ser construído de fio de cobre com diâmetro de 0,500 mm . Se o raio do solenoide for de 1,00 \mathrm{~cm}, determine (a) o número necessário de voltas do fio e (b) o comprimento necessário do solenoide.

Passo 1

O enunciado pede que construamos um solenoide que tenha resistência \;5,00\\ \Omega\; (a 20,0\\ ^\circ\mathrm{C}) e que produza um campo magnético no centro de \;4,00\times10^{-2}\\ \mathrm{T}\; quando percorrido por uma corrente de \;4,00\\ \mathrm{A}. São fornecidos também o diâmetro do fio de cobre e o raio do solenoide. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
R=5,00\\ \Omega,\quad B=4,00\times10^{-2}\\ \mathrm{T},\quad I=4,00\\ \mathrm{A},
\text{diâmetro do fio } d_{\text{fio}}=0,500\\ \mathrm{mm}=5,00\times10^{-4}\\ \mathrm{m},â
\text{raio do solenoide } r=1,00\\ \mathrm{cm}=1,00\times10^{-2}\\ \mathrm{m}.
O que é pedido:
(a) o número de voltas do fio, N;
(b) o comprimento axial do solenoide, \ell.
Vou usar, como valor padrão para a resistividade do cobre a 20{,}0\\ ^\circ\mathrm{C},
\rho=1{,}68\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.

Passo 2

Entender como ligar resistência e comprimento do fio.
A resistência de um fio homogêneo é dada por
R=\rho\frac{L_{\text{fio}}}{A},
onde
  • \rho é a resistividade do material (aqui cobre),
  • L_{\text{fio}} é o comprimento total do fio usado no solenoide,
  • A é a área da secção transversal do fio.
A área da seção transversal de um fio circular de raio r_{\text{fio}} é
A=\pi r_{\text{fio}}^2.
O fio tem diâmetro d_{\text{fio}}=5{,}00\times10^{-4}\\ \mathrm{m}, logo o raio do fio é
r_{\text{fio}}=\frac{d_{\text{fio}}}{2}=2{,}50\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Calculemos A:
A=\pi \left(2{,}50\times10^{-4}\right)^2 =\pi \times 6{,}25\times10^{-8} =1{,}9635\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 3

Determinar o comprimento total do fio a partir da resistência desejada.
Usando R=\rho\frac{L_{\text{fio}}}{A} e isolando L_{\text{fio}}:
L_{\text{fio}}=\frac{R\,A}{\rho}.
Substituindo os valores:
L_{\text{fio}}=\frac{5{,}00\times\left(1{,}9635\times10^{-7}\right)}{1{,}68\times10^{-8}} =58{,}4207\\ \mathrm{m}.
Portanto o comprimento total do fio disponível para fazer o solenoide é aproximadamente \;58{,}4\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Relacionar o comprimento do fio com o número de voltas.
Em primeira aproximação, cada volta tem comprimento igual à circunferência do solenoide, 2\pi r (aqui consideramos o raio médio dado r=1{,}00\times10^{-2}\\ \mathrm{m}). Assim, o comprimento total do fio é aproximadamente
L_{\text{fio}}\approx N\cdot 2\pi r.
Isolando N:
N\approx\frac{L_{\text{fio}}}{2\pi r}.
Substituindo L_{\text{fio}}=58{,}4207\\ \mathrm{m} e r=1{,}00\times10^{-2}\\ \mathrm{m}:
N\approx\frac{58{,}4207}{2\pi(1{,}00\times10^{-2})} =\frac{58{,}4207}{0{,}0628319} =930{,}03\\ \text{voltas}.
Arredondando para três algarismos significativos, N\approx930 voltas.
Observação didática rápida: essa aproximação assume que o raio médio da bobina é o dado e que o acréscimo de comprimento devido a camadas externas (se houver) ou ao espaçamento entre voltas é pequeno na média — é uma hipótese padrão em problemas de projeto como este.

Passo 5

Usar a fórmula do campo magnético no centro de um solenoide longo para encontrar o comprimento \ell.
O campo magnético no interior (centro) de um solenoide longo é dado por
B=\mu_0\frac{N}{\ell}I,
onde
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo, \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A},
  • N/\ell é o número de voltas por unidade de comprimento (densidade de voltas),
  • I é a corrente.
Queremos encontrar \ell. Reescrevendo:
\ell=\mu_0\frac{N I}{B}.
Substituindo \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}, N=930{,}03, I=4{,}00\\ \mathrm{A} e B=4{,}00\times10^{-2}\\ \mathrm{T}:
\ell=\frac{(4\pi\times10^{-7})\times 930{,}03\times 4{,}00}{4{,}00\times10^{-2}}.
Cancelemos o 4{,}00 numericamente para simplificar (aparece no numerador e denominador):
\ell=\frac{4\pi\times10^{-7}\times 930{,}03\times 4{,}00}{4{,}00\times10^{-2}} =\frac{4\pi\times10^{-7}\times 930{,}03}{10^{-2}}.
Calculando numericamente:
\ell\approx0{,}1168\\ \mathrm{m}=11{,}68\\ \mathrm{cm}.
Arredondando para três algarismos significativos, \ell\approx0{,}117\\ \mathrm{m} (ou 11{,}7\\ \mathrm{cm}).

Passo 6

Verificação e interpretação física (útil para a prova — como checar consistência sem calculadora avançada).
A densidade de voltas obtida é
\frac{N}{\ell}\approx\frac{930}{0{,}1168}\approx7{,}96\times10^{3}\\ \text{voltas/m}.
Se as voltas em cada camada axialmente ocupam um espaço igual ao diâmetro do fio, então cada camada teria \;1/d_{\text{fio}}=1/(5{,}00\times10^{-4})=2{,}00\times10^{3}\\ \text{voltas/m}. O número total de camadas necessárias seria aproximadamente
\text{camadas}\approx\frac{7{,}96\times10^{3}}{2{,}00\times10^{3}}\approx3{,}98\approx4.
Isto indica que, para atingir a densidade de voltas requerida com esse fio, serão necessárias cerca de 4 camadas de enrolamento — resultado físico consistente com nossas aproximações (por isso a suposição de raio médio e comprimento por volta permaneceu razoável).

Resposta

(a) N=930 voltas
(b) \ell=0{,}117\\ \mathrm{m} (ou 11{,}7\\ \mathrm{cm})

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