Serway - P8.22: Dois fios paralelos separados por
repelem-se com uma força por unidade de comprimento de
. A corrente em um fio é
. (a) Encontre a corrente no outro fio. (b) As correntes estão na mesma direção ou em direções opostas? (c) O que aconteceria se a direção de uma corrente fosse invertida e dobrada?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
-
Dados fornecidos:
- Separação entre os fios:
. - Força por unidade de comprimento entre os fios:
. - Corrente em um dos fios:
.
- Separação entre os fios:
-
Perguntas:
(a) Encontrar a corrente no outro fio.
(b) As correntes estão na mesma direção ou em direções opostas?
(c) O que aconteceria se a direção de uma corrente fosse invertida e sua intensidade dobrada?
Passo 2
Conceitos e fórmulas que precisamos (explicação passo a passo, sem pular etapas):
- Campo magnético de um fio longo e retilíneo: a intensidade do campo magnético a uma distância
de um fio que transporta corrente é dada por
onde:
-
é o módulo do campo magnético em tesla ( ), -
é a corrente no fio em ampère ( ), -
é a distância do fio em metros ( ), -
é a permeabilidade do vácuo, .
Explicação física curta: esse é o resultado do Lei de Biot–Savart / Lei de Ampère para um fio retilíneo longo — ele nos dá o campo magnético produzido por um fio em pontos afastados radialmente.
- Força por unidade de comprimento sobre um segundo fio paralelo: se temos dois fios paralelos separados por distância
, com correntes e , o campo produzido por no local do fio 2 vale . A força por unidade de comprimento que age sobre o fio 2 é
Nesta fórmula:
-
é a força por comprimento (N/m), - o sinal (direção) da força depende do sentido relativo das correntes: correntes no mesmo sentido resultam em atração; correntes em sentidos opostos resultam em repulsão.
Observação: toda a álgebra a seguir usa essa fórmula. Se precisar, pense: o campo do fio 1 age sobre o fio 2 como se fosse um campo externo, e a força é a corrente no fio 2 vezes esse campo (produto escalar com a direção, pois fios paralelos têm força transversal).
Passo 3
Isolar a corrente desconhecida algebraicamente a partir da fórmula:
Queremos
. Reorganizando:
Aqui cada símbolo significa:
-
é a força por unidade de comprimento conhecida, -
é a separação conhecida, -
é a corrente conhecida ( ), -
conhecido ( ).
Passo 4
Substituir os valores numéricos com atenção às unidades (converter centímetros para metros):
- Separação:
. - Força por unidade de comprimento:
. - Corrente conhecida:
. -
.
Agora calcular:
Passo 5
Fazer as contas passo a passo (simplificando simbolicamente antes de calcular):
Numerador:
Denominador:
Dividindo:
(O fator
cancela — por sorte — e restou uma divisão simples de potências de dez.)
Passo 6
Responder (b): direção relativa das correntes.
- O enunciado diz que os fios “se repelem”. Pela regra física conhecida (e explicada no Passo 2), fios paralelos com correntes no mesmo sentido se atraem; se as correntes são em sentidos opostos, os fios se repelem.
- Portanto, como há repulsão, as correntes estão em direções opostas.
Passo 7
Interpretação e cálculo para (c): “O que aconteceria se a direção de uma corrente fosse invertida e dobrada?”
Vou interpretar essa frase como: pegamos uma das correntes (por exemplo a do segundo fio) e invertemos seu sentido e dobramos sua intensidade. Antes tínhamos
e
com sentidos opostos (repulsão). Inverter o sentido de
faz com que passe a ter o mesmo sentido de
(porque antes eram opostos) — logo, a interação passa a ser de atração. Dobrar a intensidade significa
.
Calcular a nova força por unidade de comprimento em módulo:
Como
é o dobro do anterior, a magnitude do novo
será o dobro do valor original. Assim:
E o sinal/direção: agora é atração (porque as correntes ficaram no mesmo sentido).
Passo 8
Verificação alternativa (cheque rápido usando campo magnético): como checagem, o campo produzido pelo fio 1 na posição do fio 2 originalmente é
Então a força por comprimento sobre o fio 2 original seria
, consistente com o dado. Se
dobrar para
, a força por comprimento dobra para
. Isso confirma o cálculo anterior.
Resposta
(a)
(b) As correntes estão em direções opostas (por isso há repulsão).
(c) Se invertermos a direção de uma corrente e dobrarmos sua intensidade, os fios passarão a se atrair, e a força por unidade de comprimento terá magnitude .
(b) As correntes estão em direções opostas (por isso há repulsão).
(c) Se invertermos a direção de uma corrente e dobrarmos sua intensidade, os fios passarão a se atrair, e a força por unidade de comprimento terá magnitude