Serway - P8.22: Dois fios paralelos separados por 4,00 \mathrm{~cm} repelem-se com uma força por unidade de comprimento de 2,00 \cdot 10^{-4} \mathrm{~N} / \mathrm{m}. A corrente em um fio é 5,00 \mathrm{~A}. (a) Encontre a corrente no outro fio. (b) As correntes estão na mesma direção ou em direções opostas? (c) O que aconteceria se a direção de uma corrente fosse invertida e dobrada?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Dados fornecidos:
    • Separação entre os fios: \,4,00\\ \mathrm{cm}.
    • Força por unidade de comprimento entre os fios: \,2,00\cdot 10^{-4}\\ \mathrm{N/m}.
    • Corrente em um dos fios: \,5,00\\ \mathrm{A}.
  • Perguntas:
    (a) Encontrar a corrente no outro fio.
    (b) As correntes estão na mesma direção ou em direções opostas?
    (c) O que aconteceria se a direção de uma corrente fosse invertida e sua intensidade dobrada?

Passo 2

Conceitos e fórmulas que precisamos (explicação passo a passo, sem pular etapas):
  1. Campo magnético de um fio longo e retilíneo: a intensidade do campo magnético a uma distância \,r de um fio que transporta corrente \,I é dada por
B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r},
onde:
  • \,B é o módulo do campo magnético em tesla ( \mathrm{T}),
  • \,I é a corrente no fio em ampère ( \mathrm{A}),
  • \,r é a distância do fio em metros ( \mathrm{m}),
  • \,\mu_0 é a permeabilidade do vácuo, \,\mu_0 = 4\pi\times 10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}.
Explicação física curta: esse é o resultado do Lei de Biot–Savart / Lei de Ampère para um fio retilíneo longo — ele nos dá o campo magnético produzido por um fio em pontos afastados radialmente.
  1. Força por unidade de comprimento sobre um segundo fio paralelo: se temos dois fios paralelos separados por distância \,r, com correntes \,I_1 e \,I_2, o campo produzido por I_1 no local do fio 2 vale B_1=\dfrac{\mu_0 I_1}{2\pi r}. A força por unidade de comprimento que age sobre o fio 2 é
\frac{F}{L} = I_2 B_1 = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r}.
Nesta fórmula:
  • \,\dfrac{F}{L} é a força por comprimento (N/m),
  • o sinal (direção) da força depende do sentido relativo das correntes: correntes no mesmo sentido resultam em atração; correntes em sentidos opostos resultam em repulsão.
Observação: toda a álgebra a seguir usa essa fórmula. Se precisar, pense: o campo do fio 1 age sobre o fio 2 como se fosse um campo externo, e a força é a corrente no fio 2 vezes esse campo (produto escalar com a direção, pois fios paralelos têm força transversal).

Passo 3

Isolar a corrente desconhecida algebraicamente a partir da fórmula:
\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r}.
Queremos I_2. Reorganizando:
I_2 = \frac{(F/L)\,2\pi r}{\mu_0 I_1}.
Aqui cada símbolo significa:
  • \,F/L é a força por unidade de comprimento conhecida,
  • \,r é a separação conhecida,
  • \,I_1 é a corrente conhecida ( 5,00\\ \mathrm{A}),
  • \,\mu_0 conhecido ( 4\pi\times 10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}).

Passo 4

Substituir os valores numéricos com atenção às unidades (converter centímetros para metros):
  • Separação: \,r = 4,00\\ \mathrm{cm} = 0,0400\\ \mathrm{m}.
  • Força por unidade de comprimento: \,F/L = 2,00\cdot 10^{-4}\\ \mathrm{N/m}.
  • Corrente conhecida: \,I_1 = 5,00\\ \mathrm{A}.
  • \,\mu_0 = 4\pi\times 10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}.
Agora calcular:
I_2 = \frac{(2,00\cdot 10^{-4}) \cdot 2\pi \cdot 0,0400}{(4\pi\cdot 10^{-7})\cdot 5,00}.

Passo 5

Fazer as contas passo a passo (simplificando simbolicamente antes de calcular):
Numerador:
(2,00\cdot 10^{-4})\cdot 2\pi \cdot 0,0400 = 2,00\cdot 10^{-4}\cdot 0,0800\pi = 1,60\cdot 10^{-5}\pi.
Denominador:
(4\pi\cdot 10^{-7})\cdot 5,00 = 20\pi\cdot 10^{-7} = 2,00\cdot 10^{-6}\pi.
Dividindo:
I_2 = \frac{1,60\cdot 10^{-5}\pi}{2,00\cdot 10^{-6}\pi} = \frac{1,60\cdot 10^{-5}}{2,00\cdot 10^{-6}} = 8,00\\ \mathrm{A}.
(O fator \pi cancela — por sorte — e restou uma divisão simples de potências de dez.)

Passo 6

Responder (b): direção relativa das correntes.
  • O enunciado diz que os fios “se repelem”. Pela regra física conhecida (e explicada no Passo 2), fios paralelos com correntes no mesmo sentido se atraem; se as correntes são em sentidos opostos, os fios se repelem.
  • Portanto, como há repulsão, as correntes estão em direções opostas.

Passo 7

Interpretação e cálculo para (c): “O que aconteceria se a direção de uma corrente fosse invertida e dobrada?”
Vou interpretar essa frase como: pegamos uma das correntes (por exemplo a do segundo fio) e invertemos seu sentido e dobramos sua intensidade. Antes tínhamos \,I_1=5,00\\ \mathrm{A} e \,I_2=8,00\\ \mathrm{A} com sentidos opostos (repulsão). Inverter o sentido de I_2 faz com que passe a ter o mesmo sentido de I_1 (porque antes eram opostos) — logo, a interação passa a ser de atração. Dobrar a intensidade significa I_2'\;=\;2\times 8,00\\ \mathrm{A}=16,0\\ \mathrm{A}.
Calcular a nova força por unidade de comprimento em módulo:
\frac{F'}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2'}{2\pi r}.
Como I_2' é o dobro do anterior, a magnitude do novo \dfrac{F'}{L} será o dobro do valor original. Assim:
\frac{F'}{L} = 2\times \left(2,00\cdot 10^{-4}\\ \mathrm{N/m}\right) = 4,00\cdot 10^{-4}\\ \mathrm{N/m}.
E o sinal/direção: agora é atração (porque as correntes ficaram no mesmo sentido).

Passo 8

Verificação alternativa (cheque rápido usando campo magnético): como checagem, o campo produzido pelo fio 1 na posição do fio 2 originalmente é
B_1=\frac{\mu_0 I_1}{2\pi r} = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 5,00}{2\pi\cdot 0,0400} = \frac{2,00\cdot 10^{-6}\pi}{0,0800\pi} = 2,50\cdot 10^{-5}\\ \mathrm{T}.
Então a força por comprimento sobre o fio 2 original seria I_2 B_1 = 8,00\cdot 2,50\cdot 10^{-5}=2,00\cdot 10^{-4}\\ \mathrm{N/m}, consistente com o dado. Se I_2 dobrar para 16,0\\ \mathrm{A}, a força por comprimento dobra para 4,00\cdot 10^{-4}\\ \mathrm{N/m}. Isso confirma o cálculo anterior.

Resposta

(a) \,I_2 = 8,00\\ \mathrm{A}
(b) As correntes estão em direções opostas (por isso há repulsão).
(c) Se invertermos a direção de uma corrente e dobrarmos sua intensidade, os fios passarão a se atrair, e a força por unidade de comprimento terá magnitude \,4,00\cdot 10^{-4}\\ \mathrm{N/m}.

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