Set up a thermodynamic cycle for determining the enthalpy of hydration of Mg^2+ ions using the following data: enthalpy of sublimation of Mgs, +167.2 kJ mol^-1; first and second ionization enthalpies of Mgg,
7.646 eV and 15.035 eV ; dissociation enthalpy of Cl2 g, +241.6 kJ mol^-1; electron gain enthalpy of Clg,-3.78 eV; enthalpy of solution of MgCl2 s, -150.5 kJ mol^-1; enthalpy of hydration of Cl^- g, -383.7 kJ mol^-1.

Passo 1

O exercício pede para montarmos um ciclo termoquímico (estilo Born–Haber) que relaciona todos os passos desde Mg(s) e Cl₂(g) até Mg²⁺(aq) + 2 Cl⁻(aq), de modo a extrair a entalpia de hidratação de Mg²⁺.
Conteúdo: termoquímica, Lei de Hess, ciclo de Born–Haber e conversão de eV para kJ·mol⁻¹.
O que vamos usar:
• Entalpia de sublimação: ΔH₁ = +167,2 kJ·mol⁻¹
• Primeira e segunda energias de ionização de Mg: IE₁ = 7,646 eV, IE₂ = 15,035 eV
• Entalpia de dissociação do Cl₂: D(Cl₂) = +241,6 kJ·mol⁻¹
• Afinidade eletrônica do Cl: EA = –3,78 eV
• Entalpia de solução de MgCl₂(s): ΔH_sol = –150,5 kJ·mol⁻¹
• Entalpia de hidratação do Cl⁻(g): ΔH_hidr(Cl⁻) = –383,7 kJ·mol⁻¹
• Fator de conversão: 1 eV = 96,485 kJ·mol⁻¹

Passo 2

Primeiro, listamos a rota para gerar íons gasosos a partir de Mg(s) e Cl₂(g):
  1. Mg(s) → Mg(g)    ΔH = +ΔH₁
  2. Mg(g) → Mg²⁺(g) + 2 e⁻   ΔH = IE₁ + IE₂ (em kJ·mol⁻¹)
  3. ½ Cl₂(g) → Cl(g)    ΔH = ½ D(Cl₂)
  4. Cl(g) + e⁻ → Cl⁻(g)    ΔH = EA
Como queremos 2 Cl⁻, na prática multiplicamos os passos 3 e 4 por 2.

Passo 3

Em seguida, forma-se o sólido MgCl₂(a partir dos íons gasosos):
5. Mg²⁺(g) + 2 Cl⁻(g) → MgCl₂(s)
ΔH = U_latt  (entalpia de rede, negativa)

Passo 4

Por fim, a dissolução e hidratação em água:
6. MgCl₂(s) → MgCl₂(aq)  ΔH = ΔH_sol
7. Mg²⁺(g) → Mg²⁺(aq)  ΔH = ΔH_hidr(Mg²⁺)
8. 2 Cl⁻(g) → 2 Cl⁻(aq)  ΔH = 2 ΔH_hidr(Cl⁻)

Passo 5

Agora aplicamos a Lei de Hess: somando 1+2+ (3×2)+ (4×2)+5+6 deve dar a soma de 7+8 mais o trajeto direto de Mg(s)+Cl₂(g)→MgCl₂(aq).
Mas o que nos interessa é isolar ΔH_hidr(Mg²⁺).
Em particular, da dissolução:
ΔH_sol = – U_latt + ΔH_hidr(Mg²⁺) + 2 ΔH_hidr(Cl⁻)
⇒ ΔH_hidr(Mg²⁺) = ΔH_sol + U_latt – 2 ΔH_hidr(Cl⁻)
E o U_latt sai do ciclo de Born–Haber:
U_latt = ΔH_f°(MgCl₂,s) – [ΔH_sub + IE₁ + IE₂ + D(Cl₂) + 2 EA]
Se você tiver ΔH_f° de MgCl₂(s) (em tabelas), é só substituir.

Resposta

A entalpia de hidratação de Mg²⁺ é dada por
boxed De
onde
Urm latt = De
Basta inserir aí todos os números (lembrando de converter IE e EA de eV para kJ·mol⁻¹) para obter ΔH_{\rm hidr}(Mg²⁺).

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