Setenta por cento das aeronaves leves que desaparecem em vôo em certo país são localizadas posteriormente. Das aeronaves localizadas, 60 % possuem localizador de emergência, enquanto 90 % das aeronaves não localizadas não possuem esse dispositivo. Suponha que uma aeronave leve tenha desaparecido.
b) Se ela não tiver localizador de emergência, qual é a probabilidade de ser localizada?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma resumida:
– Em um país, 70% das aeronaves leves desaparecidas são depois encontradas.
– Dentre as que são encontradas, 60% têm localizador de emergência.
– Dentre as que NÃO são encontradas, 90% NÃO têm localizador.
Conteúdo: probabilidade condicionada e Teorema de Bayes. Pra resolver a gente precisa lembrar da definição de probabilidade condicional
P(A mid B) = P(A cap B)P(B)
e do Teorema de Bayes
P(A mid B) = P(B mid A),P(A)P(B)

Passo 2

Vamos definir os eventos:
L = “a aeronave é localizada”
L^c = “a aeronave NÃO é localizada”
E = “a aeronave tem localizador”
E^c = “a aeronave NÃO tem localizador”
O que a questão pede é
Pl(L mid E^cr),
ou seja, a probabilidade de ter sido localizada dado que não tem localizador.

Passo 3

Pelo Teorema de Bayes:
P(L mid E^c) = P(E^c mid L),P(L)P(E^c)
Já sabemos:
P(L) = 0.70
P(L^c) = 0.30
P(E \mid L) = 0.60 ⇒ P(E^c \mid L) = 1 - 0.60 = 0.40
P(E^c \mid L^c) = 0.90
Falta calcular P(E^c) = P(E^c mid L),P(L) + P(E^c mid L^c),P(L^c) via fórmula da probabilidade total:

Passo 4

Calculando:
P(E^c) = 0.40 times 0.70 ;+; 0.90 times 0.30 = 0.28 + 0.27 = 0.55
Agora o numerador de Bayes é
P(E^c mid L),P(L) = 0.40 times 0.70 = 0.28
Então
P(L mid E^c) = 0.280.55 approx 0.5091

Resposta

A probabilidade de a aeronave ser localizada, dado que ela não tem localizador de emergência, é aproximadamente (ou 50,91%).

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