Setenta por cento da população de uma cidade têm computador em casa.
Se um pesquisador para munícipes ao acaso na rua até encontrar duas pessoas que tenham computador em casa, qual é a probabilidade de que ele precise de pelo menos 3 tentativas?
Se um pesquisador para munícipes ao acaso na rua até encontrar duas pessoas que tenham computador em casa, qual é a probabilidade de que ele precise de pelo menos 3 tentativas?
Passo 1
O enunciado dá que
da população têm computador em casa. Um pesquisador para pessoas ao acaso, uma por vez, até encontrar duas pessoas que tenham computador em casa. A pergunta é: qual é a probabilidade de que ele precise de pelo menos 3 tentativas? \n\nInformações relevantes: \n
é a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ter computador em casa. \nA variável de interesse é o número de tentativas (pessoas entrevistadas) necessárias para obter 2 sucessos (duas pessoas com computador). Queremos
.
Passo 2
Vamos traduzir o evento “precisar de pelo menos 3 tentativas” em termos mais fáceis de calcular. Precisar de pelo menos 3 tentativas significa que, após as primeiras 2 entrevistas, o pesquisador ainda não conseguiu as duas pessoas com computador. Em outras palavras, entre as duas primeiras pessoas entrevistadas não ocorreram dois sucessos. Logo:
A forma mais simples é usar o complementar: calcular a probabilidade de que ele precise de no máximo 2 tentativas (ou seja, já ter os 2 sucessos nas primeiras 2) e subtrair de 1.
Passo 3
Qual é a probabilidade de obter dois sucessos nas primeiras duas entrevistas? Como cada pessoa é escolhida ao acaso e as escolhas são independentes, a probabilidade de sucesso em cada entrevista é
e a probabilidade de dois sucessos seguidos é o produto:
Substituindo
:
(Explicando a conta:
e como havia uma casa decimal em cada fator, o quadrado tem duas casas decimais:
.)
Passo 4
Usando o complementar: a probabilidade de precisar de pelo menos 3 tentativas é
Já calculamos
, então
Passo 5
Para consolidar o raciocínio, vou mostrar rapidamente a fórmula mais geral que descreve o número de tentativas para obter
sucessos (caso você queira usar isso em outras questões). Se
é o número de tentativas necessárias para obter
sucessos em ensaios de Bernoulli iid com probabilidade
de sucesso, então
No nosso caso
e para
essa fórmula dá
o que confirma o cálculo anterior. Assim o complemento
é exatamente
.
Passo 6
Pequeno cheque de sanidade/intuindo o resultado: como
é alto (
), é relativamente provável que as duas primeiras pessoas já tenham computador, mas não garantido; a probabilidade de precisar de pelo menos 3 tentativas ficou
, ou seja
— faz sentido: pouco mais da metade das vezes você não conseguirá duas pessoas com computador já nas duas primeiras entrevistas. Se
fosse menor, essa probabilidade aumentaria; por exemplo, se
então seria
.