O número de erros tipográficos numa página de determinado livro é uma variável aleatória de Poisson de parâmetro 1 / 2.
(a) Dado que há pelo menos um erro nesta página, encontre a probabilidade de que haja três ou mais erros tipográficos nesta página.
(b) Dado que você sabe que há pelo menos dois erros nesta página, qual o número esperado de erros nesta página?

Passo 1

O enunciado diz que o número de erros tipográficos numa página é uma variável aleatória de Poisson com parâmetro \lambda=\tfrac{1}{2}. Ele faz duas perguntas:
(a) Dado que há pelo menos um erro nesta página (evento \{X\ge1\}), qual é a probabilidade de que haja três ou mais erros (evento \{X\ge3\})?
(b) Dado que há pelo menos dois erros nesta página (evento \{X\ge2\}), qual é o valor esperado do número de erros nesta página, isto é, E[X \mid X\ge2]?
Informações dadas relevantes: distribuição de Poisson com parâmetro \lambda=\tfrac{1}{2}. Não há outras informações.

Passo 2

Vou lembrar as fórmulas básicas do modelo de Poisson — isso é importante para fazer os cálculos passo a passo.
A variável aleatória X tem distribuição de Poisson com parâmetro \lambda quando
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},\qquad k=0,1,2,\dots
Aqui cada símbolo significa:
  • \lambda é a média (e também a variância) da Poisson;
  • e^{-\lambda} é a constante de normalização;
  • k! é o fatorial de k.
Para probabilidades condicionais usaremos a fórmula
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
Para expectativa condicional quando o espaço de condicionamento é um evento B com probabilidade positiva:
E[X\mid B]=\frac{E[X\,\mathbf{1}_B]}{P(B)}
onde \mathbf{1}_B é a função indicadora de B. No caso concreto de B=\{X\ge2\} isso se transforma em somas discretas, mas há um jeito prático de calcular usando E[X]=E[X\,\mathbf{1}_{X<2}]+E[X\,\mathbf{1}_{X\ge2}].

Passo 3

Calculemos as probabilidades pontuais necessárias para \lambda=\tfrac{1}{2}.
Usando a pmf da Poisson:
P(X=0)=e^{-\tfrac{1}{2}}\frac{(\tfrac{1}{2})^{0}}{0!}=e^{-\tfrac{1}{2}}.
P(X=1)=e^{-\tfrac{1}{2}}\frac{(\tfrac{1}{2})^{1}}{1!}=e^{-\tfrac{1}{2}}\cdot\tfrac{1}{2}.
P(X=2)=e^{-\tfrac{1}{2}}\frac{(\tfrac{1}{2})^{2}}{2!}=e^{-\tfrac{1}{2}}\cdot\frac{1}{8}.
Vou também somar quando for útil: P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=e^{-\tfrac{1}{2}}\left(1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{8}\right)=e^{-\tfrac{1}{2}}\cdot\tfrac{13}{8}.

Passo 4

Resolvendo (a): queremos P(X\ge3\mid X\ge1).
Pelo conceito de probabilidade condicional,
P(X\ge3\mid X\ge1)=\frac{P(X\ge3\\ \text{e}\\ X\ge1)}{P(X\ge1)}=\frac{P(X\ge3)}{P(X\ge1)}.
Calculamos P(X\ge3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2). Usando o resultado do passo anterior:
P(X\ge3)=1-e^{-\tfrac{1}{2}}\cdot\tfrac{13}{8}.
E P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-e^{-\tfrac{1}{2}}.
Portanto a probabilidade condicional é
P(X\ge3\mid X\ge1)=\frac{1-e^{-\tfrac{1}{2}}\cdot\tfrac{13}{8}}{1-e^{-\tfrac{1}{2}}}.

Passo 5

Fazendo uma aproximação numérica (para termos uma noção):
e^{-\tfrac{1}{2}}\approx 0{,}60653066,
então
P(X\ge3)=1- \tfrac{13}{8}\,e^{-\tfrac{1}{2}}\approx 0{,}0143877,
e
P(X\ge1)=1-e^{-\tfrac{1}{2}}\approx 0{,}39346934.
Dividindo:
P(X\ge3\mid X\ge1)\approx 0{,}036577.

Passo 6

Agora (b): queremos E[X\mid X\ge2].
Vou derivar uma forma prática para calcular essa expectativa sem somar uma série infinita term a term.
Escrevemos
E[X]=E[X\,\mathbf{1}_{X<2}]+E[X\,\mathbf{1}_{X\ge2}].
Rearranjando,
E[X\,\mathbf{1}_{X\ge2}]=E[X]-E[X\,\mathbf{1}_{X<2}].
Mas E[X\mid X\ge2]=\dfrac{E[X\,\mathbf{1}_{X\ge2}]}{P(X\ge2)}. Logo
E[X\mid X\ge2]=\frac{E[X]-E[X\,\mathbf{1}_{X<2}]}{P(X\ge2)}.
Agora calculemos cada termo. Para X<2 só existem k=0,1, então
E[X\,\mathbf{1}_{X<2}]=0\cdot P(X=0)+1\cdot P(X=1)=P(X=1).
Também sabemos que, para Poisson, E[X]=\lambda=\tfrac{1}{2}. Portanto
E[X\mid X\ge2]=\frac{\lambda-P(X=1)}{P(X\ge2)}.

Passo 7

Substituindo os valores já encontrados:
Temos \lambda=\tfrac{1}{2} e P(X=1)=e^{-\tfrac{1}{2}}\cdot\tfrac{1}{2}.
Além disso
P(X\ge2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-e^{-\tfrac{1}{2}}\left(1+\tfrac{1}{2}\right)=1-e^{-\tfrac{1}{2}}\cdot\tfrac{3}{2}.
Portanto
E[X\mid X\ge2]=\frac{\tfrac{1}{2}-e^{-\tfrac{1}{2}}\cdot\tfrac{1}{2}}{1-e^{-\tfrac{1}{2}}\cdot\tfrac{3}{2}}.
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por 2:
E[X\mid X\ge2]=\frac{1-e^{-\tfrac{1}{2}}}{2-3e^{-\tfrac{1}{2}}}.

Passo 8

Fazendo a aproximação numérica para ficar mais tangível:
Usando e^{-\tfrac{1}{2}}\approx0{,}60653066,
E[X\mid X\ge2]\approx\frac{1-0{,}60653066}{2-3\cdot0{,}60653066}\approx\frac{0{,}39346934}{0{,}18040802}\approx 2{,}18021.
Interpretação rápida: dado que sabemos que há pelo menos dois erros, é razoável que a média condicional fique um pouco acima de 2; aqui é cerca de 2{,}18.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{1-\tfrac{13}{8}e^{-1/2}}{1-e^{-1/2}}\approx 0{,}036577
(b) \displaystyle \frac{1-e^{-1/2}}{2-3e^{-1/2}}\approx 2{,}18021

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