O número de erros tipográficos numa página de determinado livro é uma variável aleatória de Poisson de parâmetro
.
(a) Dado que há pelo menos um erro nesta página, encontre a probabilidade de que haja três ou mais erros tipográficos nesta página.
(b) Dado que você sabe que há pelo menos dois erros nesta página, qual o número esperado de erros nesta página?
(a) Dado que há pelo menos um erro nesta página, encontre a probabilidade de que haja três ou mais erros tipográficos nesta página.
(b) Dado que você sabe que há pelo menos dois erros nesta página, qual o número esperado de erros nesta página?
Passo 1
O enunciado diz que o número de erros tipográficos numa página é uma variável aleatória de Poisson com parâmetro
. Ele faz duas perguntas:
(a) Dado que há pelo menos um erro nesta página (evento
), qual é a probabilidade de que haja três ou mais erros (evento
)?
(b) Dado que há pelo menos dois erros nesta página (evento
), qual é o valor esperado do número de erros nesta página, isto é,
?
Informações dadas relevantes: distribuição de Poisson com parâmetro
. Não há outras informações.
Passo 2
Vou lembrar as fórmulas básicas do modelo de Poisson — isso é importante para fazer os cálculos passo a passo.
A variável aleatória
tem distribuição de Poisson com parâmetro
quando
Aqui cada símbolo significa:
-
é a média (e também a variância) da Poisson; -
é a constante de normalização; -
é o fatorial de .
Para probabilidades condicionais usaremos a fórmula
Para expectativa condicional quando o espaço de condicionamento é um evento
com probabilidade positiva:
onde
é a função indicadora de
. No caso concreto de
isso se transforma em somas discretas, mas há um jeito prático de calcular usando
.
Passo 3
Calculemos as probabilidades pontuais necessárias para
.
Usando a pmf da Poisson:
Vou também somar quando for útil:
Passo 4
Resolvendo (a): queremos
.
Pelo conceito de probabilidade condicional,
Calculamos
. Usando o resultado do passo anterior:
E
Portanto a probabilidade condicional é
Passo 5
Fazendo uma aproximação numérica (para termos uma noção):
então
e
Dividindo:
Passo 6
Agora (b): queremos
.
Vou derivar uma forma prática para calcular essa expectativa sem somar uma série infinita term a term.
Escrevemos
Rearranjando,
Mas
. Logo
Agora calculemos cada termo. Para
só existem
, então
Também sabemos que, para Poisson,
. Portanto
Passo 7
Substituindo os valores já encontrados:
Temos
e
.
Além disso
Portanto
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por
:
Passo 8
Fazendo a aproximação numérica para ficar mais tangível:
Usando
,
Interpretação rápida: dado que sabemos que há pelo menos dois erros, é razoável que a média condicional fique um pouco acima de
; aqui é cerca de
.
Resposta
(a)
(b)