Setenta por cento da população de uma cidade têm computador em casa.
Se uma amostra de 15 munícipes é selecionada de maneira independente, qual a probabilidade de que pelo menos 2 deles tenham computador em casa?
Se uma amostra de 15 munícipes é selecionada de maneira independente, qual a probabilidade de que pelo menos 2 deles tenham computador em casa?
Passo 1
O enunciado pede: qual a probabilidade de que, numa amostra de 15 munícipes selecionados de forma independente, pelo menos 2 tenham computador em casa, sabendo que 70% da população têm computador em casa.
Informações dadas:
- Probabilidade de um indivíduo ter computador:
. - Tamanho da amostra:
. - Evento procurado: “pelo menos 2 terem computador”, ou seja
, onde é o número de pessoas com computador na amostra.
Passo 2
Modelo que vamos usar (explicação didática):
Quando temos um número fixo de tentativas independentes (aqui ), cada tentativa tem só dois resultados (tem computador = “sucesso”, não tem = “fracasso”) e a probabilidade de sucesso é sempre a mesma (
), então
segue a distribuição binomial com parâmetros
e
.
Quando temos um número fixo de tentativas independentes (aqui
Definição e fórmula da binomial:
onde
(lê-se "combinação de
elementos tomados
a
") é dada por
e
(fatorial) significa
. Exemplo simples:
e
.
Passo 3
Estratégia para calcular
:
É mais fácil usar o complemento:
É mais fácil usar o complemento:
Isso evita somar muitas probabilidades; só precisamos de
e
.
Passo 4
Calcular
passo a passo:
Aplicando a fórmula com ,
,
:
Aplicando a fórmula com
Vamos estimar
fazendo potências menores e multiplicando:
Então
e
logo
Passo 5
Calcular
passo a passo:
Usando a fórmula com :
Usando a fórmula com
Sabemos
. Substituindo:
Usando o valor aproximado de
do passo anterior:
Passo 6
Somar
e usar o complemento:
Portanto
Interpretação: é praticamente certo (muito próximo de 1) que em 15 pessoas independentes com probabilidade individual
de ter computador, pelo menos 2 tenham computador.
Passo 7
Também posso apresentar a expressão exata (sem arredondamento intermédio):