Setenta por cento da população de uma cidade têm computador em casa.
Se uma amostra de 15 munícipes é selecionada de maneira independente, qual a probabilidade de que pelo menos 2 deles tenham computador em casa?

Passo 1

O enunciado pede: qual a probabilidade de que, numa amostra de 15 munícipes selecionados de forma independente, pelo menos 2 tenham computador em casa, sabendo que 70% da população têm computador em casa.
Informações dadas:
  • Probabilidade de um indivíduo ter computador: p=0{,}7.
  • Tamanho da amostra: n=15.
  • Evento procurado: “pelo menos 2 terem computador”, ou seja \Pr(X\ge 2), onde X é o número de pessoas com computador na amostra.

Passo 2

Modelo que vamos usar (explicação didática):
Quando temos um número fixo de tentativas independentes (aqui n=15), cada tentativa tem só dois resultados (tem computador = “sucesso”, não tem = “fracasso”) e a probabilidade de sucesso é sempre a mesma ( p=0{,}7), então X segue a distribuição binomial com parâmetros n e p.
Definição e fórmula da binomial:
\Pr(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k},
onde \binom{n}{k} (lê-se "combinação de n elementos tomados k a k") é dada por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
e n! (fatorial) significa n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1. Exemplo simples: \binom{15}{0}=1 e \binom{15}{1}=15.

Passo 3

Estratégia para calcular \Pr(X\ge 2):
É mais fácil usar o complemento:
\Pr(X\ge 2)=1-\Pr(X\le 1)=1-\big(\Pr(X=0)+\Pr(X=1)\big).
Isso evita somar muitas probabilidades; só precisamos de \Pr(X=0) e \Pr(X=1).

Passo 4

Calcular \Pr(X=0) passo a passo:
Aplicando a fórmula com k=0, n=15, p=0{,}7:
\Pr(X=0)=\binom{15}{0} (0{,}7)^{0} (0{,}3)^{15} = 1\cdot 1 \cdot 0{,}3^{15}=0{,}3^{15}.
Vamos estimar 0{,}3^{15} fazendo potências menores e multiplicando:
0{,}3^{2}=0{,}09,\quad 0{,}3^{3}=0{,}027,\quad 0{,}3^{4}=0{,}0081,\quad 0{,}3^{5}=0{,}00243.
Então
0{,}3^{10}=(0{,}3^{5})^{2}\approx 0{,}00243^{2}\approx 5{,}9049\times 10^{-6},
e
0{,}3^{14}=0{,}3^{10}\cdot 0{,}3^{4}\approx 5{,}9049\times 10^{-6}\cdot 0{,}0081\approx 4{,}7830\times 10^{-8},
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0{,}3^{15}=0{,}3\cdot 0{,}3^{14}\approx 1{,}4349\times 10^{-8}.

Passo 5

Calcular \Pr(X=1) passo a passo:
Usando a fórmula com k=1:
\Pr(X=1)=\binom{15}{1} (0{,}7)^{1} (0{,}3)^{14}.
Sabemos \binom{15}{1}=15. Substituindo:
\Pr(X=1)=15\cdot 0{,}7 \cdot 0{,}3^{14}=10{,}5\cdot 0{,}3^{14}.
Usando o valor aproximado de 0{,}3^{14} do passo anterior:
\Pr(X=1)\approx 10{,}5\cdot 4{,}7830\times 10^{-8}\approx 5{,}0222\times 10^{-7}.

Passo 6

Somar \Pr(X=0)+\Pr(X=1) e usar o complemento:
\Pr(X=0)+\Pr(X=1)\approx 1{,}4349\times 10^{-8} + 5{,}0222\times 10^{-7}\approx 5{,}1657\times 10^{-7}.
Portanto
\Pr(X\ge 2)=1 - \big(\Pr(X=0)+\Pr(X=1)\big)\approx 1 - 5{,}1657\times 10^{-7}\approx 0{,}9999994834.
Interpretação: é praticamente certo (muito próximo de 1) que em 15 pessoas independentes com probabilidade individual 0{,}7 de ter computador, pelo menos 2 tenham computador.

Passo 7

Também posso apresentar a expressão exata (sem arredondamento intermédio):
\Pr(X\ge 2)=1-\left(0{,}3^{15}+15\cdot 0{,}7\cdot 0{,}3^{14}\right).

Resposta

1-\left(0{,}3^{15}+15\cdot 0{,}7\cdot 0{,}3^{14}\right)
\approx 0{,}99999948

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