O setor de atendimento ao cliente de uma empresa resolve
das reclamações recebidas. Qual a probabilidade de, entre cinco reclamações recebidas:
a) todas serem resolvidas pelo setor?
b) pelo menos duas serem resolvidas?
c) exatamente três serem resolvidas?
a) todas serem resolvidas pelo setor?
b) pelo menos duas serem resolvidas?
c) exatamente três serem resolvidas?
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (resumo claro):
- Informação dada: a probabilidade de uma reclamação ser resolvida pelo setor é
. - Situação: foram recebidas
reclamações. - Perguntas:
(a) qual a probabilidade de todas asreclamações serem resolvidas?
(b) qual a probabilidade de pelo menosreclamações serem resolvidas?
(c) qual a probabilidade de exatamentereclamações serem resolvidas?
Passo 2
Escolha do modelo e fórmula que vamos usar (explicação didática).
Quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com a mesma chance
de “sucesso” (aqui: reclamação resolvida), e queremos a probabilidade de obter exatamente
sucessos, usamos a fórmula
Quando temos um número fixo
Explicando cada símbolo:
-
é o número total de tentativas (aqui ). -
é o número de sucessos desejados (por exemplo para “exatamente 3”). -
é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (aqui ). -
é a probabilidade de fracasso em cada tentativa (aqui ). -
é o coeficiente binomial que conta de quantas maneiras diferentes os sucessos podem ocorrer entre as tentativas; calcula-se por
onde
(fatorial) é o produto
. Ex.:
.
Passo 3
Definindo os parâmetros para o problema:
-
. -
. É útil passar para fração: . -
.
Agora aplicaremos a fórmula nas três perguntas. Sempre mostrarei as contas passo a passo.
Passo 4
(a) Probabilidade de todas as
reclamações serem resolvidas.
Aqui . Pela fórmula, quando
temos simplesmente
. Então
Aqui
Calculemos passo a passo:
logo
Passo 5
(b) Probabilidade de pelo menos
reclamações serem resolvidas.
"Pelo menos " significa
. É mais simples usar o complemento:
. Então calculamos
e
e subtraímos de
.
Primeiro :
"Pelo menos
Primeiro
Agora
:
Calculemos
.
Então
Então
e multiplicando por
:
Somando
.
Portanto
Portanto
Passo 6
(c) Probabilidade de exatamente
reclamações serem resolvidas.
Aplicamos a fórmula com :
Aplicamos a fórmula com
Calculemos cada parte:
Multiplicando:
Também pode ser verificado como
.
Passo 7
Resumo final das probabilidades calculadas (vou deixá-las bem organizadas em forma final abaixo).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)