O setor de atendimento ao cliente de uma empresa resolve 80 \% das reclamações recebidas. Qual a probabilidade de, entre cinco reclamações recebidas:
a) todas serem resolvidas pelo setor?
b) pelo menos duas serem resolvidas?
c) exatamente três serem resolvidas?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (resumo claro):
  • Informação dada: a probabilidade de uma reclamação ser resolvida pelo setor é 80\%.
  • Situação: foram recebidas 5 reclamações.
  • Perguntas:
    (a) qual a probabilidade de todas as 5 reclamações serem resolvidas?
    (b) qual a probabilidade de pelo menos 2 reclamações serem resolvidas?
    (c) qual a probabilidade de exatamente 3 reclamações serem resolvidas?

Passo 2

Escolha do modelo e fórmula que vamos usar (explicação didática).
Quando temos um número fixo n de tentativas independentes, cada uma com a mesma chance p de “sucesso” (aqui: reclamação resolvida), e queremos a probabilidade de obter exatamente k sucessos, usamos a fórmula
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}(1-p)^{\,n-k}.
Explicando cada símbolo:
  • n é o número total de tentativas (aqui n=5).
  • k é o número de sucessos desejados (por exemplo k=3 para “exatamente 3”).
  • p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (aqui p=0{,}80).
  • 1-p é a probabilidade de fracasso em cada tentativa (aqui 1-p=0{,}20).
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial que conta de quantas maneiras diferentes os k sucessos podem ocorrer entre as n tentativas; calcula-se por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde m! (fatorial) é o produto m!=(m)(m-1)\cdots(2)(1). Ex.: 5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120.

Passo 3

Definindo os parâmetros para o problema:
  • n=5.
  • p=0{,}80. É útil passar p para fração: p=\dfrac{4}{5}.
  • 1-p=q=0{,}20=\dfrac{1}{5}.
Agora aplicaremos a fórmula nas três perguntas. Sempre mostrarei as contas passo a passo.

Passo 4

(a) Probabilidade de todas as 5 reclamações serem resolvidas.
Aqui k=5. Pela fórmula, quando k=n temos simplesmente P(X=n)=p^{n}. Então
P(X=5)=p^{5}=\left(\dfrac{4}{5}\right)^{5}.
Calculemos passo a passo:
4^{5}=4\cdot4\cdot4\cdot4\cdot4=1024,\qquad 5^{5}=3125,
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P(X=5)=\dfrac{1024}{3125}=0{,}32768.

Passo 5

(b) Probabilidade de pelo menos 2 reclamações serem resolvidas.
"Pelo menos 2" significa X\ge2. É mais simples usar o complemento: P(X\ge2)=1-P(X\le1). Então calculamos P(X=0) e P(X=1) e subtraímos de 1.
Primeiro P(X=0):
P(X=0)=\binom{5}{0}p^{0}q^{5}=1\cdot 1\cdot q^{5}=q^{5}=\left(\dfrac{1}{5}\right)^{5}=\dfrac{1}{3125}=0{,}00032.
Agora P(X=1):
P(X=1)=\binom{5}{1}p^{1}q^{4}=5\cdot p\cdot q^{4}.
Calculemos q^{4}=\left(\dfrac{1}{5}\right)^{4}=\dfrac{1}{625}=0{,}0016.
Então
p\cdot q^{4}=\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{1}{625}=\dfrac{4}{3125},
e multiplicando por 5:
P(X=1)=5\cdot\dfrac{4}{3125}=\dfrac{20}{3125}=0{,}0064.
Somando P(X=0)+P(X=1)=\dfrac{1}{3125}+\dfrac{20}{3125}=\dfrac{21}{3125}=0{,}00672.
Portanto
P(X\ge2)=1-\dfrac{21}{3125}=\dfrac{3125-21}{3125}=\dfrac{3104}{3125}=0{,}99328.

Passo 6

(c) Probabilidade de exatamente 3 reclamações serem resolvidas.
Aplicamos a fórmula com k=3:
P(X=3)=\binom{5}{3}p^{3}q^{2}.
Calculemos cada parte:
\binom{5}{3}=\frac{5!}{3!2!}=\frac{120}{6\cdot2}=10.
p^{3}=\left(\dfrac{4}{5}\right)^{3}=\dfrac{64}{125}=0{,}512.
q^{2}=\left(\dfrac{1}{5}\right)^{2}=\dfrac{1}{25}=0{,}04.
Multiplicando:
P(X=3)=10\cdot \dfrac{64}{125}\cdot \dfrac{1}{25}=\dfrac{640}{3125}=0{,}2048.
Também pode ser verificado como 10\cdot 0{,}512\cdot 0{,}04=10\cdot0{,}02048=0{,}2048.

Passo 7

Resumo final das probabilidades calculadas (vou deixá-las bem organizadas em forma final abaixo).

Resposta

(a) \dfrac{1024}{3125}=0,32768
(b) \dfrac{3104}{3125}=0,99328
(c) \dfrac{640}{3125}=0,2048

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